Q3: No setor de emergência de um certo hospital, tem-se que em 70 \% dos casos é necessária alguma intervenção cirúrgica. Suponha que em dado dia foram registrados 48 casos. Usando a aproximação da binomial pela normal com correção pela continuidade, determine a probabilidade do número de cirurgias ter sido menor ou igual a 31.
(A) 0,794
(A) 0,794
(B) 0,206
(B) 0,206
(C) 0,254
(C) 0,254
(D) 0,746
(D) 0,746
(E) 0,434
(E) 0,434

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações ele dá:
  • Pergunta: determinar a probabilidade de que o número de cirurgias em um dia tenha sido menor ou igual a 31.
  • Informações dadas:
    • Número de casos observados: n=48.
    • Probabilidade de sucesso (necessidade de cirurgia) em cada caso: p=0,7.
    • Modelo natural para o problema: variável aleatória discreta X que segue a distribuição binomial com parâmetros n e p, isto é X\sim \mathrm{Bin}(n,p).
  • O enunciado já indica usar a aproximação da binomial pela normal com correção de continuidade.

Passo 2

Entendendo a estratégia (sem calcular ainda):
  • A binomial exata seria calcular \Pr(X\le 31)=\sum_{k=0}^{31}\binom{48}{k}p^{k}(1-p)^{48-k}. Isso é trabalhoso sem calculadora.
  • A aproximação pela normal é apropriada quando tanto np quanto n(1-p) são razoavelmente grandes (regra prática: maiores que 5). Nesse caso vamos aproximar X por uma normal com média e variância iguais às da binomial.
  • Como X é discreta e a normal é contínua, usaremos a correção de continuidade: para \Pr(X\le 31) substituir por \Pr(Y\le 31{,}5) onde Y é a normal aproximante.

Passo 3

Calcular a média e o desvio padrão da binomial (esses são os parâmetros da normal aproximante):
  • A média da binomial é \displaystyle \mu = np. Substituindo:
\mu = 48\cdot 0,7 = 33{,}6.
  • A variância da binomial é \displaystyle \sigma^{2} = np(1-p). Substituindo:
\sigma^{2} = 48\cdot 0,7\cdot 0,3 = 48\cdot 0{,}21 = 10{,}08.
  • O desvio padrão é \displaystyle \sigma = \sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{10{,}08}. Calculando a raiz:
\sigma \approx 3{,}176\quad(\text{aproximadamente}).
Explicação curta do que significam esses símbolos:
  • \mu é o valor médio esperado de cirurgias em muitos dias parecidos.
  • \sigma mede a dispersão típica em torno da média.

Passo 4

Verificar se a aproximação normal é razoável:
  • Calcular np = 33{,}6 e n(1-p)=48\cdot 0{,}3 = 14{,}4.
  • Ambos são maiores que 5, então a aproximação normal é considerada adequada aqui.

Passo 5

Aplicar a correção de continuidade e transformar em variável padrão Z:
  • Queremos \Pr(X\le 31). Com correção de continuidade usamos o ponto 31{,}5, isto é aproximamos por
\Pr(X\le 31)\approx \Pr\bigl(Y\le 31{,}5\bigr),
onde Y\sim N(\mu,\sigma^{2}) com \mu=33{,}6 e \sigma\approx 3{,}176.
  • Padronizando (transformando para a normal padrão Z\sim N(0,1)):
Z=\frac{Y-\mu}{\sigma}.
Logo
\Pr\bigl(Y\le 31{,}5\bigr)=\Pr\!\left(Z \le \frac{31{,}5-33{,}6}{3{,}176}\right).

Passo 6

Calcular o valor de z e a probabilidade associada:
  • Diferença no numerador:
31{,}5-33{,}6 = -2{,}1.
  • Então
z=\frac{-2{,}1}{3{,}176}\approx -0{,}661.
  • A probabilidade procurada é \Pr(Z\le -0{,}661). Usando a simetria da normal e tabelas/valores conhecidos:
\Pr(Z\le -0{,}661)=1-\Pr(Z\le 0{,}661)=1-\Phi(0{,}661).
  • Valor aproximado da função de distribuição padrão: \Phi(0{,}661)\approx 0{,}745\!6. Portanto
\Pr(Z\le -0{,}661)\approx 1-0{,}7456=0{,}2544.
  • Arredondando para três casas decimais (como nas alternativas), obtemos \Pr(X\le 31)\approx 0{,}254.
Pequeno comentário prático: se na prova houver tabela com \Phi(0{,}66)=0{,}7454 ou \Phi(0{,}67)=0{,}7486, obter-se-á valor muito próximo; o resultado arredondado continua sendo 0{,}254.

Passo 7

Interpretação final e correspondência com as alternativas:
  • A probabilidade aproximada de que o número de cirurgias tenha sido menor ou igual a 31 é \approx 0{,}254.
  • Isso corresponde à alternativa (C).

Resposta

0,254 (alternativa C)

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