Q3: No setor de emergência de um certo hospital, tem-se que em
dos casos é necessária alguma intervenção cirúrgica. Suponha que em dado dia foram registrados 48 casos. Usando a aproximação da binomial pela normal com correção pela continuidade, determine a probabilidade do número de cirurgias ter sido menor ou igual a 31.
(A) 0,794
(A) 0,794
(B) 0,206
(B) 0,206
(C) 0,254
(C) 0,254
(D) 0,746
(D) 0,746
(E) 0,434
(E) 0,434
(A) 0,794
(A) 0,794
(B) 0,206
(B) 0,206
(C) 0,254
(C) 0,254
(D) 0,746
(D) 0,746
(E) 0,434
(E) 0,434
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações ele dá:
- Pergunta: determinar a probabilidade de que o número de cirurgias em um dia tenha sido menor ou igual a 31.
- Informações dadas:
- Número de casos observados:
. - Probabilidade de sucesso (necessidade de cirurgia) em cada caso:
. - Modelo natural para o problema: variável aleatória discreta
que segue a distribuição binomial com parâmetros e , isto é .
- Número de casos observados:
- O enunciado já indica usar a aproximação da binomial pela normal com correção de continuidade.
Passo 2
Entendendo a estratégia (sem calcular ainda):
- A binomial exata seria calcular
. Isso é trabalhoso sem calculadora. - A aproximação pela normal é apropriada quando tanto
quanto são razoavelmente grandes (regra prática: maiores que 5). Nesse caso vamos aproximar por uma normal com média e variância iguais às da binomial. - Como
é discreta e a normal é contínua, usaremos a correção de continuidade: para substituir por onde é a normal aproximante.
Passo 3
Calcular a média e o desvio padrão da binomial (esses são os parâmetros da normal aproximante):
- A média da binomial é
. Substituindo:
- A variância da binomial é
. Substituindo:
- O desvio padrão é
. Calculando a raiz:
Explicação curta do que significam esses símbolos:
-
é o valor médio esperado de cirurgias em muitos dias parecidos. -
mede a dispersão típica em torno da média.
Passo 4
Verificar se a aproximação normal é razoável:
- Calcular
e . - Ambos são maiores que
, então a aproximação normal é considerada adequada aqui.
Passo 5
Aplicar a correção de continuidade e transformar em variável padrão
:
- Queremos
. Com correção de continuidade usamos o ponto , isto é aproximamos por
onde
com
e
.
- Padronizando (transformando para a normal padrão
):
Logo
Passo 6
Calcular o valor de
e a probabilidade associada:
- Diferença no numerador:
- Então
- A probabilidade procurada é
. Usando a simetria da normal e tabelas/valores conhecidos:
- Valor aproximado da função de distribuição padrão:
. Portanto
- Arredondando para três casas decimais (como nas alternativas), obtemos
.
Pequeno comentário prático: se na prova houver tabela com
ou
, obter-se-á valor muito próximo; o resultado arredondado continua sendo
.
Passo 7
Interpretação final e correspondência com as alternativas:
- A probabilidade aproximada de que o número de cirurgias tenha sido menor ou igual a 31 é
. - Isso corresponde à alternativa (C).