Q7: A temperatura média diária (em ^{\circ} \mathrm{C} ) na sala de exames de uma clínica médica segue uma distribuição Normal, com valor médio de 24^{\circ} \mathrm{C} e desvio padrão de 2,8^{\circ} \mathrm{C}. Qual é o valor da temperatura tal que em 5 % dos dias a temperatura da sala seja superior a esse valor?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A temperatura média diária na sala, que chamaremos de X, segue uma distribuição Normal.
  • Valor médio (esperança): \mu = 24^\circ\mathrm{C}.
  • Desvio padrão: \sigma = 2,8^\circ\mathrm{C}.
    O que é pedido:
  • Achar o valor x tal que em 5\% dos dias a temperatura seja superior a esse valor, isto é, encontrar x tal que
\mathbb{P}(X > x) = 0,05.

Passo 2

Vamos padronizar a variável Normal para trabalhar com a distribuição Normal padrão (que é tabelada e conhecida). A padronização é a fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z tem distribuição Normal padrão (média 0 e desvio padrão 1). Aqui:
  • X é a temperatura (variável original),
  • \mu é a média ( \mu=24),
  • \sigma é o desvio padrão ( \sigma=2,8),
  • Z é a versão padronizada usada para consultar tabelas ou funções inversas da Normal.

Passo 3

Reescrevemos a probabilidade desejada usando Z. Queremos x tal que
\mathbb{P}(X > x)=0,05.
Isso é equivalente a
\mathbb{P}\!\left(Z>\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=0,05.
Para a Normal padrão, se \mathbb{P}(Z>z_0)=0,05 então \mathbb{P}(Z\le z_0)=0,95. Logo definimos z_0 por
\mathbb{P}(Z\le z_0)=0,95,\quad\text{com } z_0=\frac{x-\mu}{\sigma}.
Assim primeiro encontramos z_0 (o percentil 95\% da Normal padrão) e depois voltamos para x.

Passo 4

O percentil 95\% da Normal padrão é aproximadamente
z_0 \approx 1,645.
(Esse valor vem de tabela da Normal padrão ou de uma função inversa; a forma mais exata é z_0\approx1,6448536\ldots, e usamos 1,645 que é padrão em cálculos práticos.)

Passo 5

Agora resolvemos para x usando z_0=\dfrac{x-\mu}{\sigma}. Isolando x obtemos
x=\mu+z_0\,\sigma.
Substituindo os números:
x=24 + 1,645\cdot 2,8.
Calcule passo a passo:
1,645\cdot 2,8 = 4,606,
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x = 24 + 4,606 = 28,606.
Arredondando de forma prática para uma casa decimal (suficiente para interpretação de temperatura),
x \approx 28,6^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação final: aproximadamente 5\% dos dias a temperatura da sala excederá 28,6^\circ\mathrm{C}. Se precisar de maior precisão, usar z_0 mais exato leva a x\approx28,60598^\circ\mathrm{C}, que é o mesmo resultado essencial.

Resposta

28,6^\circ\mathrm{C}

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