Um time de futebol disputa um campeonato no qual os seus adversírios são classificados como fortes, medios ou fracos, sendo que
deles sāo considerados fortes,
sāo considerados médios e
sāo considerados fracos. Sabe-se que a probabilidade do time vencer um adversário forte e de
, de vencer um adversário médio é de
e de vencer um adversúrio fraco é de
. Sabendo que o time venceu uma certa partida desse campeonato, usando o Teorema de Bayes, qual a probabilidade de que o adversário nessa partida tenha sido um time fraco?
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Passo 1
O enunciado dá as informações a seguir e pede a probabilidade de que o adversário tenha sido fraco sabendo que o time venceu a partida.
- Pergunta pedida: calcular
. - Informações fornecidas:
- Fração de adversários fortes:
. - Fração de adversários médios:
. - Fração de adversários fracos:
. - Probabilidade de vitória contra forte:
. - Probabilidade de vitória contra médio:
. - Probabilidade de vitória contra fraco:
.
- Fração de adversários fortes:
Passo 2
Vamos definir eventos e converter porcentagens em probabilidades (usando vírgula como separador decimal):
- Seja
o evento “adversário forte”. Então . - Seja
o evento “adversário médio”. Então . - Seja
o evento “adversário fraco”. Então . - Seja
o evento “o time venceu”. Então: -
. -
. -
.
-
Passo 3
Primeiro precisamos da probabilidade total de vitória
. Pelo Teorema da Probabilidade Total:
Agora substituímos os números (cada termo calculado passo a passo):
Calcule cada produto:
Somando:
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar
. A fórmula de Bayes diz:
Aqui:
-
é a probabilidade de vencer dado que o adversário é fraco. -
é a probabilidade a priori de enfrentar um fraco. -
é a probabilidade total de vitória (calculada no passo anterior).
Passo 5
Substituindo os valores:
Escrevendo como fração simplificada e decimal:
Passo 6
Interpretação rápida (para aliviar a ansiedade): esse valor indica que, dado que o time venceu, é muito mais provável que o adversário tenha sido fraco — faz sentido porque adversários fracos são frequentes (
) e a chance de vitória contra eles é alta (
), então a maior parte das vitórias vem desses confrontos.