Um time de futebol disputa um campeonato no qual os seus adversírios são classificados como fortes, medios ou fracos, sendo que 10 \% deles sāo considerados fortes, 40 \% sāo considerados médios e 50 \% sāo considerados fracos. Sabe-se que a probabilidade do time vencer um adversário forte e de 10 \%, de vencer um adversário médio é de 20 \% e de vencer um adversúrio fraco é de 70 \%. Sabendo que o time venceu uma certa partida desse campeonato, usando o Teorema de Bayes, qual a probabilidade de que o adversário nessa partida tenha sido um time fraco?
d) 79,55 \%

Passo 1

O enunciado dá as informações a seguir e pede a probabilidade de que o adversário tenha sido fraco sabendo que o time venceu a partida.
  • Pergunta pedida: calcular \Pr(\text{adversário fraco} \mid \text{time venceu})á.
  • Informações fornecidas:
    • Fração de adversários fortes: 10\%.
    • Fração de adversários médios: 40\%.
    • Fração de adversários fracos: 50\%.
    • Probabilidade de vitória contra forte: 10\%.
    • Probabilidade de vitória contra médio: 20\%.
    • Probabilidade de vitória contra fraco: 70\%.

Passo 2

Vamos definir eventos e converter porcentagens em probabilidades (usando vírgula como separador decimal):
  • Seja \text{F} o evento “adversário forte”. Então \Pr(\text{F})=0,10.
  • Seja \text{M} o evento “adversário médio”. Então \Pr(\text{M})=0,40.
  • Seja \text{W} o evento “adversário fraco”. Então \Pr(\text{W})=0,50.
  • Seja V o evento “o time venceu”. Então:
    • \Pr(V\mid \text{F})=0,10.
    • \Pr(V\mid \text{M})=0,20.
    • \Pr(V\mid \text{W})=0,70.

Passo 3

Primeiro precisamos da probabilidade total de vitória \Pr(V). Pelo Teorema da Probabilidade Total:
\Pr(V)=\Pr(V\mid \text{F})\Pr(\text{F})+\Pr(V\mid \text{M})\Pr(\text{M})+\Pr(V\mid \text{W})\Pr(\text{W}).
Agora substituímos os números (cada termo calculado passo a passo):
\Pr(V)=0,10\cdot0,10 + 0,20\cdot0,40 + 0,70\cdot0,50.
Calcule cada produto:
0,10\cdot0,10=0,01,\qquad 0,20\cdot0,40=0,08,\qquad 0,70\cdot0,50=0,35.
Somando:
\Pr(V)=0,01+0,08+0,35=0,44.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar \Pr(\text{W}\mid V). A fórmula de Bayes diz:
\Pr(\text{W}\mid V)=\frac{\Pr(V\mid \text{W})\Pr(\text{W})}{\Pr(V)}.
Aqui:
  • \Pr(V\mid \text{W}) é a probabilidade de vencer dado que o adversário é fraco.
  • \Pr(\text{W}) é a probabilidade a priori de enfrentar um fraco.
  • \Pr(V) é a probabilidade total de vitória (calculada no passo anterior).

Passo 5

Substituindo os valores:
\Pr(\text{W}\mid V)=\frac{0,70\cdot0,50}{0,44}=\frac{0,35}{0,44}.
Escrevendo como fração simplificada e decimal:
\frac{0,35}{0,44}=\frac{35}{44}\approx0,7954545\ldots

Passo 6

Interpretação rápida (para aliviar a ansiedade): esse valor indica que, dado que o time venceu, é muito mais provável que o adversário tenha sido fraco — faz sentido porque adversários fracos são frequentes ( 50\%) e a chance de vitória contra eles é alta ( 70\%), então a maior parte das vitórias vem desses confrontos.

Resposta

79,55\%

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