Um setor de manufatura automatizada combina capital ( K ) e trabalho ( L ) em sua produção, descrita pela função
q=K^{0,5} L^{0,5}
Para atingir uma meta de produção de q=100, a firma enfrenta preços dos insumos dados por w=1 (salário da hora de trabalho em centenas de reais) e r=4 (custo da hora-máquina em centenas de reais).
(a) Resolva o problema de minimização de custos para atingir q=100.
(b) Obtenha as demandas condicionais de fatores K^{*}(w, r, q) e L^{*}(w, r, q).
(c) Derive a função custo C(w, r, q).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Função de produção: q=K^{0,5} L^{0,5}.
    • Preço do trabalho: w=1 (unidade: centenas de reais por hora).
    • Preço do capital: r=4 (unidade: centenas de reais por hora).
    • Meta de produção: q=100.
  • O enunciado pede:
    (a) Resolver o problema de minimização do custo para atingir q=100 (ou seja, encontrar os níveis de K e L que minimizam o custo dado esse q e os preços).
    (b) Obter as demandas condicionais (demanda ótima) dos fatores K^{*}(w,r,q) e L^{*}(w,r,q).
    (c) Derivar a função custo C(w,r,q).

Passo 2

Montar o problema de otimização e explicar a ideia por trás do método que vou usar.
  • A firma quer minimizar o custo total de inputs, que é
\text{Custo} = rK + wL.
  • A restrição é produzir exatamente q, isto é
K^{0,5} L^{0,5} = q.
  • Método escolhido: usar multiplicadores de Lagrange. Por que? Porque é uma forma direta e padrão para minimizar uma função sujeita a uma restrição de igualdade. O multiplicador de Lagrange \lambda tem interpretação econômica: dá a variação do custo mínimo quando a quantidade alvo q aumenta (é o “preço sombra” da restrição de produção).

Passo 3

Construir a função de Lagrange e escrever as condições de primeira ordem (explicando cada termo).
  • Defino a função de Lagrange:
\mathcal{L}(K,L,\lambda)= rK + wL + \lambda\bigl(q - K^{0,5}L^{0,5}\bigr).
Aqui:
  • rK + wL é o custo que queremos minimizar;
  • \lambda é o multiplicador associado à restrição K^{0,5}L^{0,5}=q;
  • o sinal positivo antes de \lambda e q - K^{0,5}L^{0,5} é apenas convenção para escrever a restrição como q - \text{produção} = 0çã.
  • Condições de primeira ordem: derivar \mathcal{L} em relação a K, L e \lambda e igualar a zero:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial K}= r - \lambda\cdot\frac{1}{2}K^{-0,5}L^{0,5}=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial L}= w - \lambda\cdot\frac{1}{2}K^{0,5}L^{-0,5}=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}= q - K^{0,5}L^{0,5}=0.
Explicando: as duas primeiras equações igualam o preço do input (custo marginal do input) ao produto marginal do input multiplicado por \lambda. Mas, para encontrar a relação entre K e L, é conveniente dividir as duas primeras equações.

Passo 4

Eliminar \lambda tomando a razão das duas primeiras condições e interpretar o resultado (MRTS).
Dividindo as equações de K e L:
\frac{r}{w} = \frac{\lambda\cdot\frac{1}{2}K^{-0,5}L^{0,5}}{\lambda\cdot\frac{1}{2}K^{0,5}L^{-0,5}} = \frac{K^{-0,5}L^{0,5}}{K^{0,5}L^{-0,5}}.
Simplificando a razão das potências:
\frac{r}{w}=\frac{L}{K}.
Isso é uma forma de equacionar a condição de tangência: a taxa marginal de substituição técnica (MRTS) entre K e L é igual à razão de preços r/w. Aqui a simplificação ficou muito simples porque a função é simétrica.
Da relação obtemos:
\frac{L}{K}=\frac{r}{w}\quad\Rightarrow\quad L=\frac{r}{w}\,K.

Passo 5

Usar a restrição de produção para encontrar K e L em termos de w,r,q.
  • A produção exige que
K^{0,5}L^{0,5} = q \quad\Longrightarrow\quad (KL)^{0,5}=q \quad\Longrightarrow\quad KL = q^{2}.
  • Substituo L=(r/w)K em KL=q^{2}:
K\cdot\frac{r}{w}K = q^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{r}{w}K^{2}=q^{2}.
  • Isolando K:
K^{2} = \frac{w}{r}\,q^{2}\quad\Rightarrow\quad K = q\sqrt{\frac{w}{r}}.
  • E então L é
L=\frac{r}{w}K = \frac{r}{w}\,q\sqrt{\frac{w}{r}} = q\sqrt{\frac{r}{w}}.
Essas são as demandas condicionais gerais K^{*}(w,r,q) e L^{*}(w,r,q). Vou agora aplicar os valores numéricos pedidos.

Passo 6

Calcular as soluções numéricas para w=1, r=4 e q=100.
  • Primeiro calcule as raízes:
\sqrt{\frac{w}{r}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2},\qquad \sqrt{\frac{r}{w}}=\sqrt{\frac{4}{1}}=2.
  • Portanto:
K^{*}= q\sqrt{\frac{w}{r}} = 100\cdot\frac{1}{2} = 50,
L^{*}= q\sqrt{\frac{r}{w}} = 100\cdot 2 = 200.
Interpretação curta: para produzir 100 unidades, com esses preços, a firma usará 50 unidades de capital e 200 de trabalho.

Passo 7

Calcular o custo mínimo (numérico) e depois derivar a forma geral da função custo.
  • Custo mínimo numérico:
C_{\min} = rK^{*} + wL^{*} = 4\cdot 50 + 1\cdot 200 = 200 + 200 = 400.
(Unidade: centenas de reais; se quiser em reais multiplicar por 100.)
  • Agora a forma geral substituindo K^{*} e L^{*}:
C(w,r,q)= r\cdot\biggl(q\sqrt{\frac{w}{r}}\biggr) + w\cdot\biggl(q\sqrt{\frac{r}{w}}\biggr).
Fatorando q e simplificando cada termo:
r\sqrt{\frac{w}{r}} = r\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{r}} = \sqrt{rw},
w\sqrt{\frac{r}{w}} = w\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{w}} = \sqrt{rw}.
Assim
C(w,r,q)= q\bigl(\sqrt{rw}+\sqrt{rw}\bigr) = 2q\sqrt{rw}.
Observação econômica: como os expoentes na função de produção somam 0{,}5+0{,}5=1, temos retornos constantes de escala e, por isso, a função custo é linear em q (proporcional a q).

Passo 8

Recapitulação didática rápida e dica para a prova.
  • Procedimento padrão para esse tipo de problema:
    1. Escrever o custo total rK+wL e a restrição de produção.
    2. Usar Lagrange ou igualar MRTS= razão de preços (aqui MRTS=MP_K/MP_L). Para a função q=K^{\alpha}L^{\beta}: MP_K=\alpha K^{\alpha-1}L^{\beta} e MP_L=\beta K^{\alpha}L^{\beta-1}. A razão MP_K/MP_L frequentemente simplifica bem.
    3. Substituir a relação obtida na restrição de produção para achar as demandas condicionais.
    4. Substituir essas demandas no custo para obter C(w,r,q).
  • Dica: memorizando a forma geral para Cobb-Douglas com \alpha=\beta=1/2 ajuda a acelerar cálculos na prova.

Resposta

(a) K^{*}=50,\; L^{*}=200 e custo mínimo C_{\min}=400
(b) K^{*}(w,r,q)=q\sqrt{\dfrac{w}{r}},\; L^{*}(w,r,q)=q\sqrt{\dfrac{r}{w}}
(c) C(w,r,q)=2q\sqrt{rw}

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