Um setor de manufatura automatizada combina capital (
) e trabalho (
) em sua produção, descrita pela função
Para atingir uma meta de produção de
, a firma enfrenta preços dos insumos dados por
(salário da hora de trabalho em centenas de reais) e
(custo da hora-máquina em centenas de reais).
(a) Resolva o problema de minimização de custos para atingir
.
(b) Obtenha as demandas condicionais de fatores
e
.
(c) Derive a função custo
.
(a) Resolva o problema de minimização de custos para atingir
(b) Obtenha as demandas condicionais de fatores
(c) Derive a função custo
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
-
Dados fornecidos:
- Função de produção:
. - Preço do trabalho:
(unidade: centenas de reais por hora). - Preço do capital:
(unidade: centenas de reais por hora). - Meta de produção:
.
- Função de produção:
-
O enunciado pede:
(a) Resolver o problema de minimização do custo para atingir(ou seja, encontrar os níveis de e que minimizam o custo dado esse e os preços).
(b) Obter as demandas condicionais (demanda ótima) dos fatorese .
(c) Derivar a função custo.
Passo 2
Montar o problema de otimização e explicar a ideia por trás do método que vou usar.
- A firma quer minimizar o custo total de inputs, que é
- A restrição é produzir exatamente
, isto é
- Método escolhido: usar multiplicadores de Lagrange. Por que? Porque é uma forma direta e padrão para minimizar uma função sujeita a uma restrição de igualdade. O multiplicador de Lagrange
tem interpretação econômica: dá a variação do custo mínimo quando a quantidade alvo aumenta (é o “preço sombra” da restrição de produção).
Passo 3
Construir a função de Lagrange e escrever as condições de primeira ordem (explicando cada termo).
- Defino a função de Lagrange:
Aqui:
-
é o custo que queremos minimizar; -
é o multiplicador associado à restrição ; -
o sinal positivo antes de
e é apenas convenção para escrever a restrição como . -
Condições de primeira ordem: derivar
em relação a , e e igualar a zero:
Explicando: as duas primeiras equações igualam o preço do input (custo marginal do input) ao produto marginal do input multiplicado por
. Mas, para encontrar a relação entre
e
, é conveniente dividir as duas primeras equações.
Passo 4
Eliminar
tomando a razão das duas primeiras condições e interpretar o resultado (MRTS).
Dividindo as equações de
e
:
Simplificando a razão das potências:
Isso é uma forma de equacionar a condição de tangência: a taxa marginal de substituição técnica (MRTS) entre
e
é igual à razão de preços
. Aqui a simplificação ficou muito simples porque a função é simétrica.
Da relação obtemos:
Passo 5
Usar a restrição de produção para encontrar
e
em termos de
.
- A produção exige que
- Substituo
em :
- Isolando
:
- E então
é
Essas são as demandas condicionais gerais
e
. Vou agora aplicar os valores numéricos pedidos.
Passo 6
Calcular as soluções numéricas para
,
e
.
- Primeiro calcule as raízes:
- Portanto:
Interpretação curta: para produzir
unidades, com esses preços, a firma usará
unidades de capital e
de trabalho.
Passo 7
Calcular o custo mínimo (numérico) e depois derivar a forma geral da função custo.
- Custo mínimo numérico:
(Unidade: centenas de reais; se quiser em reais multiplicar por 100.)
- Agora a forma geral substituindo
e :
Fatorando
e simplificando cada termo:
Assim
Observação econômica: como os expoentes na função de produção somam
, temos retornos constantes de escala e, por isso, a função custo é linear em
(proporcional a
).
Passo 8
Recapitulação didática rápida e dica para a prova.
-
Procedimento padrão para esse tipo de problema:
- Escrever o custo total
e a restrição de produção. - Usar Lagrange ou igualar
razão de preços (aqui ). Para a função : e . A razão frequentemente simplifica bem. - Substituir a relação obtida na restrição de produção para achar as demandas condicionais.
- Substituir essas demandas no custo para obter
.
- Escrever o custo total
-
Dica: memorizando a forma geral para Cobb-Douglas com
ajuda a acelerar cálculos na prova.
Resposta
(a)
e custo mínimo
(b)
(c)
(b)
(c)