x(s)=x0 s+gamma(s+gamma)^2+b^2+(v0+gamma x0) 1(s+gamma)^2+b^2,
com b^2=omega0^2-gamma^2. No caso criticamente amortecido, temos b^2=0, isto é omega0^2=gamma^2.
a) Mostre que a solução para este caso é
x(t)=[x0+(v0+gamma x0) t] e^-gamma t

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a transformada de Laplace
X(s)=x0,s+gamma(s+gamma)^2+b^2 ;+;l(v0+gamma x0r),1(s+gamma)^2+b^2,
com b^2=omega0^2-gamma^2. No caso criticamente amortecido, b^2=0, ou seja omega0^2=gamma^2.
Conteúdo: inversão de Laplace (transformada inversa).
O que vamos usar: tabela básica de transformadas
  • Le^-gamma t=1s+gamma
  • Lt,e^-gamma t=1(s+gamma)^2

Passo 2

Substituindo b^2=0 em X(s), temos
X(s)=x0,s+gamma(s+gamma)^2 ;+;l(v0+gamma x0r),1(s+gamma)^2
Agora vamos simplificar cada fração:

Passo 3

  1. Para o primeiro termo:
s+gamma(s+gamma)^2=1s+gamma
  1. O segundo termo já está na forma 1(s+gamma)^2.
Então
X(s)=x0,1s+gamma ;+;(v0+gamma x0),1(s+gamma)^2

Passo 4

Agora vamos inverter cada parte usando a tabela:
  • L^-1!l1s+gammar=e^-gamma t,
  • L^-1!l1(s+gamma)^2r=t,e^-gamma t.
Portanto
x(t)=x0,e^-gamma t ;+;(v0+gamma x0),t,e^-gamma t

Resposta

x(t)=l[x0+(v0+gamma x0),tr],e^-gamma t

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