(Sheldon Ross) Pessoas entram em um cassino a uma taxa de 1 a cada 2 minutos.
(a) Qual é a probabilidade de que ninguém entre 12:00 e 12:05?
Solução: e^{-2.5}
(b) Qual é a probabilidade de que pelo menos 4 pessoas entrem no cassino durante esse tempo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Informação: pessoas entram em um cassino à taxa de 1 a cada 2 minutos.
  • Intervalo de tempo de interesse: entre 12{:}00 e 12{:}05, ou seja, 5 minutos.
  • Pergunta (a): Qual é a probabilidade de que ninguém entre nesse intervalo de 5 minutos?
  • Pergunta (b): Qual é a probabilidade de que pelo menos 4 pessoas entrem nesse mesmo intervalo?

Passo 2

Modelagem e escolha da ferramenta: vamos modelar o número de entradas no intervalo de 5 minutos por uma distribuição de contagem apropriada para chegadas a taxa constante e independentes ao longo do tempo. Essa distribuição dá probabilidades de ocorrer exatamente k chegadas em um intervalo e tem uma expressão simples que permite calcular as probabilidades pedidas diretamente. Não se preocupe com o nome técnico agora — vamos só usar a fórmula que nos dá a probabilidade de k chegadas usando a média esperada de chegadas no intervalo.

Passo 3

Calcular a média (valor esperado) de chegadas no intervalo de 5 minutos.
  • A taxa dada é 1 pessoa a cada 2 minutos, ou seja, por minuto a taxa é \lambda = \tfrac{1}{2} (pessoas por minuto).
  • Em um intervalo de duração t=5 minutos, a média esperada de chegadas é
\mu = \lambda t = \frac{1}{2}\cdot 5 = 2,5.
Aqui \mu é o número médio de pessoas que entram em 5 minutos. Sempre verifique as unidades: \lambda em pessoas/minuto vezes t em minutos dá um número adimensional \mu.

Passo 4

Fórmula para a probabilidade de ocorrer exatamente k chegadas no intervalo.
A fórmula que vamos usar é
\Pr(N=k)=e^{-\mu}\frac{\mu^k}{k!},
onde
  • N é o número de pessoas que entram no intervalo,
  • \mu é a média de chegadas no intervalo (já calculada: \mu=2,5),
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6),
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828\dots).
Vou usar essa fórmula para as duas perguntas.

Passo 5

Resolver (a): probabilidade de ninguém entrar no intervalo.
  • Para k=0,
\Pr(N=0)=e^{-\mu}\frac{\mu^0}{0!}=e^{-2,5}\cdot\frac{1}{1}=e^{-2,5}.
Isso já responde (a). Numericamente, e^{-2,5}\approx 0,082085, mas a forma exata e^{-2,5} é normalmente a resposta preferida.

Passo 6

Resolver (b): probabilidade de pelo menos 4 pessoas entrarem no intervalo.
  • "Pelo menos 4" significa N\ge 4. É mais fácil calcular o complementar:
\Pr(N\ge 4)=1-\Pr(N\le 3)=1-\sum_{k=0}^{3}\Pr(N=k).
  • Usamos a fórmula do passo anterior para cada termo \Pr(N=k)=e^{-2,5}\dfrac{2,5^{k}}{k!} e somamos k=0,1,2,3.

Passo 7

Calcular termo a termo (mostrar contas para fazer na prova sem calculadora parcial):
  • Para k=0:
\Pr(N=0)=e^{-2,5}\approx 0,082085.
  • Para k=1:
\Pr(N=1)=e^{-2,5}\frac{2,5^1}{1!}=e^{-2,5}\cdot 2,5\approx 0,082085\cdot 2,5 \approx 0,2052125.
  • Para k=2:
\Pr(N=2)=e^{-2,5}\frac{2,5^2}{2!}=e^{-2,5}\frac{6,25}{2}=e^{-2,5}\cdot 3,125\approx 0,082085\cdot 3,125 \approx 0,2565156.
  • Para k=3:
\Pr(N=3)=e^{-2,5}\frac{2,5^3}{3!}=e^{-2,5}\frac{15,625}{6}=e^{-2,5}\cdot 2,604166\dots\approx 0,082085\cdot 2,604166 \approx 0,2137630.

Passo 8

Somar as probabilidades de k=0,1,2,3 e subtrair de 1.
  • Soma:
\sum_{k=0}^{3}\Pr(N=k)\approx 0,082085+0,2052125+0,2565156+0,2137630 \approx 0,7575761.
  • Complemento:
\Pr(N\ge 4)=1-0,7575761\approx 0,2424239.
Arredondando para quatro casas decimais, \Pr(N\ge 4)\approx 0,2424.

Resposta

e^{-2,5}
1-\displaystyle\sum_{k=0}^{3} e^{-2,5}\frac{2,5^{k}}{k!}\approx 0,2424

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