(Sheldon Ross) Pessoas entram em um cassino a uma taxa de 1 a cada 2 minutos.
(a) Qual é a probabilidade de que ninguém entre 12:00 e 12:05?
Solução:
(b) Qual é a probabilidade de que pelo menos 4 pessoas entrem no cassino durante esse tempo?
(a) Qual é a probabilidade de que ninguém entre 12:00 e 12:05?
(b) Qual é a probabilidade de que pelo menos 4 pessoas entrem no cassino durante esse tempo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- Informação: pessoas entram em um cassino à taxa de
a cada minutos. - Intervalo de tempo de interesse: entre
e , ou seja, minutos. - Pergunta (a): Qual é a probabilidade de que ninguém entre nesse intervalo de
minutos? - Pergunta (b): Qual é a probabilidade de que pelo menos
pessoas entrem nesse mesmo intervalo?
Passo 2
Modelagem e escolha da ferramenta: vamos modelar o número de entradas no intervalo de
minutos por uma distribuição de contagem apropriada para chegadas a taxa constante e independentes ao longo do tempo. Essa distribuição dá probabilidades de ocorrer exatamente
chegadas em um intervalo e tem uma expressão simples que permite calcular as probabilidades pedidas diretamente. Não se preocupe com o nome técnico agora — vamos só usar a fórmula que nos dá a probabilidade de
chegadas usando a média esperada de chegadas no intervalo.
Passo 3
Calcular a média (valor esperado) de chegadas no intervalo de
minutos.
- A taxa dada é
pessoa a cada minutos, ou seja, por minuto a taxa é (pessoas por minuto). - Em um intervalo de duração
minutos, a média esperada de chegadas é
Aqui
é o número médio de pessoas que entram em
minutos. Sempre verifique as unidades:
em pessoas/minuto vezes
em minutos dá um número adimensional
.
Passo 4
Fórmula para a probabilidade de ocorrer exatamente
chegadas no intervalo.
A fórmula que vamos usar é
onde
-
é o número de pessoas que entram no intervalo, -
é a média de chegadas no intervalo (já calculada: ), -
é o fatorial de (por exemplo, ), -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ).
Vou usar essa fórmula para as duas perguntas.
Passo 5
Resolver (a): probabilidade de ninguém entrar no intervalo.
- Para
,
Isso já responde (a). Numericamente,
, mas a forma exata
é normalmente a resposta preferida.
Passo 6
Resolver (b): probabilidade de pelo menos
pessoas entrarem no intervalo.
- "Pelo menos
" significa . É mais fácil calcular o complementar:
- Usamos a fórmula do passo anterior para cada termo
e somamos .
Passo 7
Calcular termo a termo (mostrar contas para fazer na prova sem calculadora parcial):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Somar as probabilidades de
e subtrair de
.
- Soma:
- Complemento:
Arredondando para quatro casas decimais,
.