Para estimar a média desconhecida de uma população, foram propostos dois estimadores nãoviciados independentes, hat{\theta}_{1} e hat{\theta}_{2}, de tal sorte que operatorname{Var}\left(hat{\theta}_{1}\right)=operatorname{Var}\left(hat{\theta}_{2}\right) / 3. Considere os seguintes estimadores ponderados de \theta : a) T_{1}=\left(hat{\theta}_{1}+hat{\theta}_{2}\right) / 2 b) T_{2}=\left(4 hat{\theta}_{1}+hat{\theta}_{2}\right) / 5 c) T_{3}=hat{\theta}_{1}
Quais estimadores são não-viciados?

Passo 1

O enunciado pede: determinar quais dos estimadores listados são não-viciados (isto é, quais têm esperança igual ao parâmetro \theta). As informações relevantes dadas são:
\hat{\theta}_{1}\text{ e }\hat{\theta}_{2}\text{ são estimadores não-viciados e independentes},ãã
ou seja,
\mathbb{E}\big[\hat{\theta}_{1}\big]=\theta\quad\text{e}\quad\mathbb{E}\big[\hat{\theta}_{2}\big]=\theta.
Também foi dada a relação entre variâncias \operatorname{Var}\big(\hat{\theta}_{1}\big)=\operatorname{Var}\big(\hat{\theta}_{2}\big)/3, mas essa informação não é necessária para decidir sobre vies (servirá somente se quiséssemos comparar variâncias). Os estimadores propostos são:
T_{1}=\frac{\hat{\theta}_{1}+\hat{\theta}_{2}}{2},\qquad T_{2}=\frac{4\hat{\theta}_{1}+\hat{\theta}_{2}}{5},\qquad T_{3}=\hat{\theta}_{1}.

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar: linearidade da esperança. A propriedade diz que, para quaisquer constantes a,b e variáveis aleatórias X,Y,
\mathbb{E}[aX+bY]=a\,\mathbb{E}[X]+b\,\mathbb{E}[Y].
Explicação curta: expectativa é uma soma ponderada dos valores possíveis; multiplicar a variável por uma constante puxa essa constante para fora da soma, e somas de variáveis tornam-se somas das expectativas. Exemplo simples: se \mathbb{E}[X]=2 e \mathbb{E}[Y]=3, então \mathbb{E}[0{,}5X+0{,}5Y]=0{,}5\cdot2+0{,}5\cdot3=2{,}5.

Passo 3

Critério prático para combinações lineares de estimadores não-viciados: se \mathbb{E}[\hat{\theta}_1]=\mathbb{E}[\hat{\theta}_2]=\theta, então para qualquer constantes w_1,w_2
\mathbb{E}[w_1\hat{\theta}_1+w_2\hat{\theta}_2]=w_1\theta+w_2\theta=(w_1+w_2)\theta.
Portanto, a combinação será não-viciada (ou seja, terá esperança \theta) se, e somente se, os pesos somarem 1:
w_1+w_2=1.
Esse é o critério que vamos usar em cada caso.

Passo 4

Aplicando ao estimador T_{1}. Os pesos são w_1=1/2 para \hat{\theta}_1 e w_2=1/2 para \hat{\theta}_2. Pela linearidade da esperança:
\mathbb{E}[T_{1}]=\mathbb{E}\!\left[\frac{\hat{\theta}_{1}+\hat{\theta}_{2}}{2}\right] =\frac{1}{2}\mathbb{E}[\hat{\theta}_{1}]+\frac{1}{2}\mathbb{E}[\hat{\theta}_{2}] =\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{2}\theta=(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2})\theta=\theta.
Logo T_{1} é não-viciado.

Passo 5

Aplicando ao estimador T_{2}. Os pesos são w_1=4/5 e w_2=1/5. Pela mesma propriedade:
\mathbb{E}[T_{2}]=\mathbb{E}\!\left[\frac{4\hat{\theta}_{1}+\hat{\theta}_{2}}{5}\right] =\frac{4}{5}\mathbb{E}[\hat{\theta}_{1}]+\frac{1}{5}\mathbb{E}[\hat{\theta}_{2}] =\frac{4}{5}\theta+\frac{1}{5}\theta=(\tfrac{4}{5}+\tfrac{1}{5})\theta=\theta.
Portanto T_{2} também é não-viciado.

Passo 6

Aplicando ao estimador T_{3}. Aqui T_{3}=\hat{\theta}_{1}. Como foi dado que \hat{\theta}_{1} é não-viciado:
\mathbb{E}[T_{3}]=\mathbb{E}[\hat{\theta}_{1}]=\theta.
Logo T_{3} é não-viciado.

Passo 7

Conclusão pedagógica rápida: qualquer combinação linear de estimadores não-viciados será não-viciada se os pesos somarem 1. Nos três casos dados os pesos somam 1, então todos os três estimadores são não-viciados. Força aí — você já sabe como verificar isso na prova: calcule a esperança usando linearidade e cheque se dá \theta.

Resposta

a) T_{1} — não-viciado
b) T_{2} — não-viciado
c) T_{3} — não-viciado

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