Para estimar a média desconhecida de uma população, foram propostos dois estimadores nãoviciados independentes,
e
, de tal sorte que
. Considere os seguintes estimadores ponderados de
: a)
b)
c)
Quais estimadores são não-viciados?
Quais estimadores são não-viciados?
Passo 1
O enunciado pede: determinar quais dos estimadores listados são não-viciados (isto é, quais têm esperança igual ao parâmetro
). As informações relevantes dadas são:
ou seja,
Também foi dada a relação entre variâncias
, mas essa informação não é necessária para decidir sobre vies (servirá somente se quiséssemos comparar variâncias). Os estimadores propostos são:
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar: linearidade da esperança. A propriedade diz que, para quaisquer constantes
e variáveis aleatórias
,
Explicação curta: expectativa é uma soma ponderada dos valores possíveis; multiplicar a variável por uma constante puxa essa constante para fora da soma, e somas de variáveis tornam-se somas das expectativas. Exemplo simples: se
e
, então
.
Passo 3
Critério prático para combinações lineares de estimadores não-viciados: se
, então para qualquer constantes
Portanto, a combinação será não-viciada (ou seja, terá esperança
) se, e somente se, os pesos somarem 1:
Esse é o critério que vamos usar em cada caso.
Passo 4
Aplicando ao estimador
. Os pesos são
para
e
para
. Pela linearidade da esperança:
Logo
é não-viciado.
Passo 5
Aplicando ao estimador
. Os pesos são
e
. Pela mesma propriedade:
Portanto
também é não-viciado.
Passo 6
Aplicando ao estimador
. Aqui
. Como foi dado que
é não-viciado:
Logo
é não-viciado.
Passo 7
Conclusão pedagógica rápida: qualquer combinação linear de estimadores não-viciados será não-viciada se os pesos somarem 1. Nos três casos dados os pesos somam 1, então todos os três estimadores são não-viciados. Força aí — você já sabe como verificar isso na prova: calcule a esperança usando linearidade e cheque se dá
.
Resposta
a)
— não-viciado
b) — não-viciado
c) — não-viciado
b)
c)