2.3 Show that
7+\frac{1}{14}+\frac{1}{14}+\ldots=5\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\ldots\right)

Passo 1

O enunciado nos dá duas somas infinitas escritas assim:
7+\frac{1}{14}+\frac{1}{14}+\cdots
e
5\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots\right).
A tarefa é mostrar o que for pertinente sobre essa igualdade — se ela é verdadeira como igualdade de números reais finitos ou não, e em que sentido faz sentido comparar as duas expressões. Vou listar as informações dadas:
  • A soma da esquerda é uma série cujos termos, a partir do segundo, são todos iguais a \dfrac{1}{14}.
  • A soma da direita é 5 vezes uma série cujos termos, a partir do segundo, são todos iguais a \dfrac{1}{2}.
  • Não há indicação de que as reticências representam outra coisa que não termos constantes repetidos infinitamente.

Passo 2

Lembra do conceito básico sobre séries infinitas: uma série \sum_{n=0}^\infty a_n converge somente se os termos a_n tendem a zero quando n\to\infty. Isto é uma condição necessária (mas não suficiente) para convergência:
\text{Se }\sum_{n=0}^\infty a_n \text{ converge, então } \lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Vou usar essa condição aqui porque é a maneira mais direta e incisiva de testar convergência quando os termos são óbvios.

Passo 3

Olhemos para os termos das séries dadas.
  • Na série da esquerda, a partir do segundo termo cada termo é \dfrac{1}{14}. Assim os termos não tendem a zero; eles ficam constantes em \dfrac{1}{14}. Logo, pela condição necessária, a série
7+\frac{1}{14}+\frac{1}{14}+\cdots
não pode convergir. Em termos de somas parciais, se S_N for a soma com N termos iguais a \tfrac{1}{14} mais o 7, então
S_N = 7 + N\cdot\frac{1}{14},
e \lim_{N\to\infty} S_N = +\infty.

Passo 4

Na série dentro dos parênteses do segundo membro, a partir do segundo termo cada termo é \dfrac{1}{2}. Novamente os termos não tendem a zero (são constantes em \tfrac{1}{2}), então a série
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots
também não converge. Se T_N for a soma parcial com N termos iguais a \tfrac{1}{2} mais o 1, temos
T_N = 1 + N\cdot\frac{1}{2},
portanto
5\,T_N = 5\left(1+N\cdot\frac{1}{2}\right)=5 + \frac{5}{2}N,
e \lim_{N\to\infty}5\,T_N = +\infty.

Passo 5

Conclusões e interpretação:
  • Ambos os lados têm somas parciais que tendem a +\infty. Ou seja, ambas as séries divergem para +\infty.
  • Como igualdade entre números reais finitos, a expressão
7+\frac{1}{14}+\frac{1}{14}+\cdots = 5\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots\right)
não faz sentido: não existe um número real finito para o qual cada lado some. Dizer que “são iguais” como números finitos é incorreto.
  • Em um sentido fraco (olhando apenas para o comportamento das somas parciais) ambos os lados tendem a +\infty, isto é, têm o mesmo tipo de divergência (divergem para +\infty), mas isso não transforma a igualdade em uma igualdade numérica válida entre reais finitos.

Resposta

Ambos os lados divergem para +\infty; portanto a igualdade não é válida como igualdade entre números reais finitos (em termos de somas parciais, ambos tendem a +\infty).

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