2.3 Show that
Passo 1
O enunciado nos dá duas somas infinitas escritas assim:
e
A tarefa é mostrar o que for pertinente sobre essa igualdade — se ela é verdadeira como igualdade de números reais finitos ou não, e em que sentido faz sentido comparar as duas expressões. Vou listar as informações dadas:
- A soma da esquerda é uma série cujos termos, a partir do segundo, são todos iguais a
. - A soma da direita é
vezes uma série cujos termos, a partir do segundo, são todos iguais a . - Não há indicação de que as reticências representam outra coisa que não termos constantes repetidos infinitamente.
Passo 2
Lembra do conceito básico sobre séries infinitas: uma série
converge somente se os termos
tendem a zero quando
. Isto é uma condição necessária (mas não suficiente) para convergência:
Vou usar essa condição aqui porque é a maneira mais direta e incisiva de testar convergência quando os termos são óbvios.
Passo 3
Olhemos para os termos das séries dadas.
- Na série da esquerda, a partir do segundo termo cada termo é
. Assim os termos não tendem a zero; eles ficam constantes em . Logo, pela condição necessária, a série
não pode convergir. Em termos de somas parciais, se
for a soma com
termos iguais a
mais o
, então
e
.
Passo 4
Na série dentro dos parênteses do segundo membro, a partir do segundo termo cada termo é
. Novamente os termos não tendem a zero (são constantes em
), então a série
também não converge. Se
for a soma parcial com
termos iguais a
mais o
, temos
portanto
e
.
Passo 5
Conclusões e interpretação:
- Ambos os lados têm somas parciais que tendem a
. Ou seja, ambas as séries divergem para . - Como igualdade entre números reais finitos, a expressão
não faz sentido: não existe um número real finito para o qual cada lado some. Dizer que “são iguais” como números finitos é incorreto.
- Em um sentido fraco (olhando apenas para o comportamento das somas parciais) ambos os lados tendem a
, isto é, têm o mesmo tipo de divergência (divergem para ), mas isso não transforma a igualdade em uma igualdade numérica válida entre reais finitos.
Resposta
Ambos os lados divergem para
; portanto a igualdade não é válida como igualdade entre números reais finitos (em termos de somas parciais, ambos tendem a
).