Use the result of Example 3-4 and Equations 3-4 and 3-6 to express Stefans constant in terms of h, c, and k. Using the known values of these constants, calculate Stefans constant.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente usar o resultado do Exemplo 3-4 (que mostra
integral0^infty x^3e^x - 1,dx = pi^415
), junto com as Equações 3-4 e 3-6 (que são, basicamente, a lei de Planck e a lei de Stefan–Boltzmann) para escrever a constante de Stefan em função de , e , e depois calcular numericamente o valor de .
Conteúdo: radiação de corpo negro, integração da lei de Planck e mudança de variável.

Passo 2

A lei de Planck para a radiância espectral (por unidade de frequência) é
Bnu(T) ;=; 2,h,nu^3c^2,1e^hnu/(kT)-1,
Para achar o fluxo total j^star ;=;integralOmega!!integral0^infty Bnu(T),dnu,dOmega ;=;piintegral0^infty Bnu(T),dnu ;=;sigma,T^4 (energia por área e tempo) a gente integra sobre todas as frequências e ângulos sólidos. A Equação 3-6 diz que
(devido à simetria, a integração em dá um fator ).

Passo 3

Escrevendo esse integral:
j^star ;=;piintegral0^infty 2hnu^3c^2,1e^hnu/(kT)-1,dnu = 2pi hc^2,integral0^infty nu^3e^hnu/(kT)-1,dnu,
Agora fazemos a mudança de variável
x = hnukT Longrightarrow nu = kTh,x, dnu = kTh,dx,
logo
nu^3,dnu = l(tfrackThr)^4 x^3,dx

Passo 4

Substituindo no integral:
j^star = 2pi hc^2,l(tfrackThr)^4 integral0^infty x^3e^x - 1,dx = 2pi,hc^2,k^4 T^4h^4,pi^415 = 2pi^5,k^415,c^2,h^3;T^4
Como sigma = 2pi^5,k^415,c^2,h^3, , identificamos

Passo 5

Basta agora pôr os valores:
h = 6,626times10^-34,Jcdot s, c = 2,998times10^8,m/s, k = 1,381times10^-23,J/K
Fazendo a conta (com calma na ordem de grandeza) dá
sigma approx 5,67times10^-8,W,m^-2,K^-4

Resposta

boxedsigma = 2pi^5 k^415,c^2 h^3 approx 5,67times10^-8,W,m^-2,K^-4,

Exercícios relacionados