An elastic sphere of mass 100 g with a kinetic energy of 1 J strikes another such sphere of mass 1 g which is initially at rest. What is the maximum energy
that can be transferred from the moving to the stationary sphere? What is
if the mass of moving sphere is 1 g whereas that of the stationary sphere is 100 g ?
Passo 1
O enunciado dá duas situações (vou listar claramente o que é pedido e os dados numéricos que vou usar).
-
Dados (peguei estes valores do enunciado):
- Energia cinética inicial da esfera em movimento:
. - Caso (a): esfera móvel com massa
e esfera parada com massa . - Caso (b): esfera móvel com massa
e esfera parada com massa .
- Energia cinética inicial da esfera em movimento:
-
Perguntas:
- Qual é a máxima energia
que pode ser transferida da esfera em movimento para a esfera inicialmente em repouso no caso (a)? - Qual é
no caso (b)?
- Qual é a máxima energia
Passo 2
Modelagem física e variáveis (o que vou calcular e quais equações fundamentais uso).
- Vou considerar colisões elásticas unidimensionais e choque direto (head-on). Isso fornece conservação do momento linear e conservação da energia cinética.
- Notação:
-
é a velocidade inicial da esfera móvel (associada a ). -
é a velocidade inicial da esfera parada. -
e são as velocidades após a colisão.
-
- Equações de conservação:
Vou usar essas equações para obter
em função de
,
e
.
Passo 3
Derivação da velocidade da segunda esfera após colisão.
- Da conservação do momento:
- Da conservação da energia (multiplicando por
e reagrupando): - Substituindo
na expressão de energia e cancelando o fator comum (assumindo ), obtemos - Somando as duas relações
e : Portanto
Passo 4
Expressão para a energia transferida à segunda esfera em termos de
,
e
.
- Energia da segunda esfera após a colisão:
- Como a energia cinética inicial da esfera 1 é
, temos . Substituindo: - Logo a fração da energia transferida é
e a energia transferida máxima (no choque frontal) é
Passo 5
Cálculo numérico para o caso (a):
,
,
.
- Primeiro calcular a fração:
- Calcule
. Assim - Como
, a energia transferida é
Passo 6
Cálculo numérico para o caso (b):
,
,
.
- A expressão para
é simétrica em e , portanto o valor numérico é o mesmo: - Logo
Passo 7
Comentário interpretativo e caso particular útil para prova.
- Observação prática: a fração transferida
atinge seu máximo igual a quando (colisão entre massas iguais transfere toda a energia para a esfera inicialmente em repouso). - No caso de massas muito diferentes a transferência é pequena; no nosso exemplo a transferência é cerca de
da energia inicial.