An elastic sphere of mass 100 g with a kinetic energy of 1 J strikes another such sphere of mass 1 g which is initially at rest. What is the maximum energy E_{m} that can be transferred from the moving to the stationary sphere? What is E_{m} if the mass of moving sphere is 1 g whereas that of the stationary sphere is 100 g ?

Passo 1

O enunciado dá duas situações (vou listar claramente o que é pedido e os dados numéricos que vou usar).
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • Energia cinética inicial da esfera em movimento: K_1=1\\ \mathrm{J}.
    • Caso (a): esfera móvel com massa m_1=100\\ \mathrm{g}=0,1\\ \mathrm{kg} e esfera parada com massa m_2=1\\ \mathrm{g}=0,001\\ \mathrm{kg}.
    • Caso (b): esfera móvel com massa m_1=1\\ \mathrm{g}=0,001\\ \mathrm{kg} e esfera parada com massa m_2=100\\ \mathrm{g}=0,1\\ \mathrm{kg}.
  • Perguntas:
    1. Qual é a máxima energia E_{m} que pode ser transferida da esfera em movimento para a esfera inicialmente em repouso no caso (a)?
    2. Qual é E_{m} no caso (b)?

Passo 2

Modelagem física e variáveis (o que vou calcular e quais equações fundamentais uso).
  • Vou considerar colisões elásticas unidimensionais e choque direto (head-on). Isso fornece conservação do momento linear e conservação da energia cinética.
  • Notação:
    • v_1 é a velocidade inicial da esfera móvel (associada a K_1).
    • v_2=0 é a velocidade inicial da esfera parada.
    • v_1' e v_2' são as velocidades após a colisão.
  • Equações de conservação: \text{(momento)}\quad m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2',
\text{(energia)}\quad \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2.
Vou usar essas equações para obter v_2' em função de v_1, m_1 e m_2.

Passo 3

Derivação da velocidade da segunda esfera após colisão.
  • Da conservação do momento: v_1 - v_1' = \frac{m_2}{m_1}\,v_2'.
  • Da conservação da energia (multiplicando por 2 e reagrupando): m_1(v_1^2 - v_1'^2) = m_2 v_2'^2 \quad\Rightarrow\quad m_1(v_1 - v_1')(v_1 + v_1') = m_2 v_2'^2.
  • Substituindo v_1 - v_1' = \dfrac{m_2}{m_1}v_2' na expressão de energia e cancelando o fator comum m_2 v_2' (assumindo v_2'\neq0), obtemos v_1 + v_1' = v_2'.
  • Somando as duas relações v_1 - v_1' = \dfrac{m_2}{m_1}v_2' e v_1 + v_1' = v_2': 2v_1 = v_2'\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)=v_2'\frac{m_1+m_2}{m_1}.Portanto v_2'=\frac{2m_1}{m_1+m_2}\,v_1.

Passo 4

Expressão para a energia transferida à segunda esfera em termos de K_1, m_1 e m_2.
  • Energia da segunda esfera após a colisão: K_2'=\tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2=\tfrac{1}{2}m_2\left(\frac{2m_1}{m_1+m_2}\right)^2 v_1^2.
  • Como a energia cinética inicial da esfera 1 é K_1=\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2, temos v_1^2=\dfrac{2K_1}{m_1}. Substituindo: K_2'=\tfrac{1}{2}m_2\left(\frac{4m_1^2}{(m_1+m_2)^2}\right)\frac{2K_1}{m_1} =\frac{4m_1 m_2}{(m_1+m_2)^2}\,K_1.
  • Logo a fração da energia transferida é f=\frac{K_2'}{K_1}=\frac{4m_1 m_2}{(m_1+m_2)^2},e a energia transferida máxima (no choque frontal) é E_m = K_2' = \frac{4m_1 m_2}{(m_1+m_2)^2}\,K_1.

Passo 5

Cálculo numérico para o caso (a): m_1=0,1\\ \mathrm{kg}, m_2=0,001\\ \mathrm{kg}, K_1=1\\ \mathrm{J}.
  • Primeiro calcular a fração: f=\frac{4m_1 m_2}{(m_1+m_2)^2} =\frac{4\cdot 0,1\cdot 0,001}{(0,1+0,001)^2} =\frac{0,0004}{0,101^2}.
  • Calcule 0,101^2=0,010201. Assim f=\frac{0,0004}{0,010201}\approx 0,0392157.
  • Como K_1=1\\ \mathrm{J}, a energia transferida é E_m = f K_1 \approx 0,0392157\\ \mathrm{J}\approx 0,0392\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Cálculo numérico para o caso (b): m_1=0,001\\ \mathrm{kg}, m_2=0,1\\ \mathrm{kg}, K_1=1\\ \mathrm{J}.
  • A expressão para f é simétrica em m_1 e m_2, portanto o valor numérico é o mesmo: f=\frac{4\cdot 0,001\cdot 0,1}{(0,001+0,1)^2}=\frac{0,0004}{0,101^2}\approx 0,0392157.
  • Logo E_m \approx 0,0392157\\ \mathrm{J}\approx 0,0392\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Comentário interpretativo e caso particular útil para prova.
  • Observação prática: a fração transferida f=\dfrac{4m_1 m_2}{(m_1+m_2)^2} atinge seu máximo igual a 1 quando m_1=m_2 (colisão entre massas iguais transfere toda a energia K_1 para a esfera inicialmente em repouso).
  • No caso de massas muito diferentes a transferência é pequena; no nosso exemplo a transferência é cerca de 3{,}92\% da energia inicial.

Resposta

E_m\approx 0,0392\\ \mathrm{J} (quando m_1=100\\ \mathrm{g},\\ m_2=1\\ \mathrm{g})
E_m\approx 0,0392\\ \mathrm{J} (quando m_1=1\\ \mathrm{g},\\ m_2=100\\ \mathrm{g})

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