Si
, demostrar
Explicar porqué
es solución singular.
Explicar porqué
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial $ y’ - x \sqrt{y} = 0 $ e precisamos mostrar por que $ y = 0 $ é uma solução singular. Isso envolve entender um pouco sobre equações diferenciais e soluções singulares, mas vou explicar tudo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro o que precisamos resolver. A equação dada é:
Aqui, $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $.
Passo 3
Agora, para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis. Isso significa que vamos colocar todas as expressões envolvendo $ y $ de um lado e todas as envolvendo $ x $ do outro. Vamos reescrever a equação:
Podemos rearranjar para:
Passo 4
Integrando ambos os lados para encontrar $ y $ em termos de $ x $:
A integral do lado esquerdo é $ 2\sqrt{y} $ e a do lado direito é $ \frac{x^2}{2} + C $, onde $ C $ é a constante de integração. Assim:
Passo 5
Vamos resolver para $ y $:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Esta é a solução geral da equação diferencial.
Passo 6
Agora, vamos analisar a solução $ y = 0 $. Substituindo na equação original:
Isso indica que $ y = 0 $ é uma solução da equação diferencial.
Passo 7
Para verificar se $ y = 0 $ é uma solução singular, observamos que ela não pode ser obtida da solução geral substituindo um valor específico para $ C $. De fato, na solução geral:
Não há valor de $ C $ que torne $ y = 0 $ para todo $ x $, exceto se $ C $ for tal que $ \frac{x^2}{4} + \frac{C}{2} = 0 $ para todo $ x $, o que não é possível.
Passo 8
Portanto, $ y = 0 $ é uma solução que não pertence à família de soluções encontradas pela solução geral e, por isso, é considerada uma solução singular.
Resposta
A função $ y = 0 $ é uma solução singular da equação diferencial $ y’ - x \sqrt{y} = 0 $ porque satisfaz a equação, mas não pode ser obtida a partir da solução geral através de qualquer valor da constante de integração.