Si y^prime-x y^12=0, demostrar
Explicar porqué y=0 es solución singular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial $ y’ - x \sqrt{y} = 0 $ e precisamos mostrar por que $ y = 0 $ é uma solução singular. Isso envolve entender um pouco sobre equações diferenciais e soluções singulares, mas vou explicar tudo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro o que precisamos resolver. A equação dada é:
y' = x raizy
Aqui, $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $.

Passo 3

Agora, para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis. Isso significa que vamos colocar todas as expressões envolvendo $ y $ de um lado e todas as envolvendo $ x $ do outro. Vamos reescrever a equação:
y
Podemos rearranjar para:
x

Passo 4

Integrando ambos os lados para encontrar $ y $ em termos de $ x $:
y
A integral do lado esquerdo é $ 2\sqrt{y} $ e a do lado direito é $ \frac{x^2}{2} + C $, onde $ C $ é a constante de integração. Assim:
x

Passo 5

Vamos resolver para $ y $:
y
Elevando ambos os lados ao quadrado:
raizy = x^24 + C2
Esta é a solução geral da equação diferencial.

Passo 6

Agora, vamos analisar a solução $ y = 0 $. Substituindo na equação original:
y = 0
Isso indica que $ y = 0 $ é uma solução da equação diferencial.

Passo 7

Para verificar se $ y = 0 $ é uma solução singular, observamos que ela não pode ser obtida da solução geral substituindo um valor específico para $ C $. De fato, na solução geral:
y = 0
Não há valor de $ C $ que torne $ y = 0 $ para todo $ x $, exceto se $ C $ for tal que $ \frac{x^2}{4} + \frac{C}{2} = 0 $ para todo $ x $, o que não é possível.

Passo 8

Portanto, $ y = 0 $ é uma solução que não pertence à família de soluções encontradas pela solução geral e, por isso, é considerada uma solução singular.

Resposta

A função $ y = 0 $ é uma solução singular da equação diferencial $ y’ - x \sqrt{y} = 0 $ porque satisfaz a equação, mas não pode ser obtida a partir da solução geral através de qualquer valor da constante de integração.

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