Se A é uma sigma-álgebra, então A é fechada para interseções contáveis. Isto é, se Ajj in N subseteq A, então capj=1^infty Aj in A.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma sigma-álgebra, chamada A, e queremos mostrar que ela é fechada para interseções contáveis. Isso significa que, se a gente pegar uma sequência infinita de conjuntos dentro de A, a interseção de todos esses conjuntos também deve estar dentro de A. Para resolver esse problema, vamos precisar entender o que é uma sigma-álgebra e como ela se comporta em relação a operações como união, interseção e complementação de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sigma-álgebra. Uma sigma-álgebra A sobre um conjunto X é uma coleção de subconjuntos de X que satisfaz três propriedades importantes:
  1. O conjunto vazio está em A: emptyset in A.
  2. Fechamento por complementação: Se A in A, então o complemento de A, denotado por A^c, também está em A.
  3. Fechamento por uniões contáveis: Se Ajj in N é uma sequência de conjuntos em A, então a união desses conjuntos, cupj=1^infty Aj, também está em A.
Essas propriedades garantem que a sigma-álgebra é bem comportada em termos de operações com conjuntos infinitos.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que A também é fechada para interseções contáveis. Ou seja, se tivermos uma sequência Ajj in N de conjuntos em A, então a interseção desses conjuntos, capj=1^infty Aj, também deve estar em A.
Para isso, vamos usar uma estratégia que envolve o complemento dos conjuntos e a propriedade de fechamento por uniões contáveis.

Passo 4

Primeiro, vamos considerar o complemento de cada conjunto Aj. Como A é fechada por complementação, sabemos que para cada j, o complemento Aj^c também está em A.

Passo 5

Agora, vamos olhar a união desses complementos. Segundo a propriedade de fechamento por uniões contáveis da sigma-álgebra, a união de todos os Aj^c, ou seja, cupj=1^infty Aj^c, também está em A.

Passo 6

Finalmente, vamos pegar o complemento dessa união. Novamente, usando a propriedade de fechamento por complementação, o complemento da união (cupj=1^infty Aj^c)^c está em A.

Passo 7

Agora, vamos lembrar de uma lei importante da teoria dos conjuntos chamada Lei de De Morgan, que nos diz que:
capj=1^infty Aj = ( cupj=1^infty Aj^c )^c
Isso significa que a interseção de todos os Aj é igual ao complemento da união de todos os complementos de Aj.

Passo 8

Com base nisso, vimos que (cupj=1^infty Aj^c)^c está em A, e pela Lei de De Morgan, isso é igual a capj=1^infty Aj. Portanto, concluímos que a interseção contável dos conjuntos Aj está em A.

Resposta

Portanto, mostramos que se A é uma sigma-álgebra, então ela é fechada para interseções contáveis. Ou seja, para qualquer sequência Ajj in N subseteq A, a interseção capj=1^infty Aj também pertence a A.

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