Se
é uma
-álgebra, então
é fechada para interseções contáveis. Isto é, se
, então
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma
-álgebra, chamada
, e queremos mostrar que ela é fechada para interseções contáveis. Isso significa que, se a gente pegar uma sequência infinita de conjuntos dentro de
, a interseção de todos esses conjuntos também deve estar dentro de
. Para resolver esse problema, vamos precisar entender o que é uma
-álgebra e como ela se comporta em relação a operações como união, interseção e complementação de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma
-álgebra. Uma
-álgebra
sobre um conjunto
é uma coleção de subconjuntos de
que satisfaz três propriedades importantes:
- O conjunto vazio está em
: . - Fechamento por complementação: Se
, então o complemento de , denotado por , também está em . - Fechamento por uniões contáveis: Se
é uma sequência de conjuntos em , então a união desses conjuntos, , também está em .
Essas propriedades garantem que a
-álgebra é bem comportada em termos de operações com conjuntos infinitos.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
também é fechada para interseções contáveis. Ou seja, se tivermos uma sequência
de conjuntos em
, então a interseção desses conjuntos,
, também deve estar em
.
Para isso, vamos usar uma estratégia que envolve o complemento dos conjuntos e a propriedade de fechamento por uniões contáveis.
Passo 4
Primeiro, vamos considerar o complemento de cada conjunto
. Como
é fechada por complementação, sabemos que para cada
, o complemento
também está em
.
Passo 5
Agora, vamos olhar a união desses complementos. Segundo a propriedade de fechamento por uniões contáveis da
-álgebra, a união de todos os
, ou seja,
, também está em
.
Passo 6
Finalmente, vamos pegar o complemento dessa união. Novamente, usando a propriedade de fechamento por complementação, o complemento da união
está em
.
Passo 7
Agora, vamos lembrar de uma lei importante da teoria dos conjuntos chamada Lei de De Morgan, que nos diz que:
Isso significa que a interseção de todos os
é igual ao complemento da união de todos os complementos de
.
Passo 8
Com base nisso, vimos que
está em
, e pela Lei de De Morgan, isso é igual a
. Portanto, concluímos que a interseção contável dos conjuntos
está em
.
Resposta
Portanto, mostramos que se
é uma
-álgebra, então ela é fechada para interseções contáveis. Ou seja, para qualquer sequência
, a interseção
também pertence a
.