Se
é um espaço métrico, e
Prove que
é um espaço topológico. Assim, todo espaço métrico é um espaço topológico. Em consequência, no que segue, a menos que seja necessário especificar o contexto, os conjuntos abertos segundo uma métrica serão chamados apenas de abertos.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um espaço métrico
e queremos provar que o conjunto
, formado por todos os conjuntos abertos segundo a métrica
, é uma topologia em
. Ou seja, queremos mostrar que
é um espaço topológico. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas que definem uma topologia e verificar se
os satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os três axiomas básicos que um conjunto
precisa satisfazer para ser uma topologia em
:
- Conjuntos Absolutos: O conjunto vazio
e o próprio conjunto devem estar em . - União Arbitrária: A união de qualquer coleção de conjuntos em
deve também estar em . - Interseção Finita: A interseção de um número finito de conjuntos em
deve estar em .
Vamos verificar cada um desses pontos.
Passo 3
1. Conjuntos Absolutos:
- O Conjunto Vazio
: Por definição de espaço métrico, o conjunto vazio é sempre considerado aberto. - O Conjunto
: Da mesma forma, o próprio espaço é aberto segundo a métrica .
Portanto,
e
.
2. União Arbitrária:
- Se tivermos uma coleção de conjuntos abertos
, onde cada , então a união também é um conjunto aberto segundo a métrica . Isso porque, em espaços métricos, a união de qualquer número de conjuntos abertos continua sendo aberta.
3. Interseção Finita:
- Se tivermos dois conjuntos abertos
e em , então a interseção também é um conjunto aberto. Mais geralmente, a interseção de um número finito de conjuntos abertos permanece aberta em espaços métricos.
Passo 4
Como verificamos que
satisfaz todos os três axiomas necessários para ser uma topologia, podemos concluir que
é realmente um espaço topológico.
Resposta
Portanto, todo espaço métrico
é um espaço topológico, onde os conjuntos abertos definidos pela métrica
formam a topologia
. Assim, a menos que seja necessário especificar, os conjuntos abertos segundo uma métrica são simplesmente chamados de abertos em topologia.