Se (X, rho) é um espaço métrico, e
tau=A subset X mid A é aberto segundo a métrica rho éé
Prove que (X, tau) é um espaço topológico. Assim, todo espaço métrico é um espaço topológico. Em consequência, no que segue, a menos que seja necessário especificar o contexto, os conjuntos abertos segundo uma métrica serão chamados apenas de abertos.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um espaço métrico (X, rho) e queremos provar que o conjunto tau, formado por todos os conjuntos abertos segundo a métrica rho, é uma topologia em X. Ou seja, queremos mostrar que (X, tau) é um espaço topológico. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas que definem uma topologia e verificar se tau os satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os três axiomas básicos que um conjunto tau precisa satisfazer para ser uma topologia em X:
  1. Conjuntos Absolutos: O conjunto vazio varnothing e o próprio conjunto X devem estar em tau.
  2. União Arbitrária: A união de qualquer coleção de conjuntos em tau deve também estar em tau.
  3. Interseção Finita: A interseção de um número finito de conjuntos em tau deve estar em tau.
Vamos verificar cada um desses pontos.

Passo 3

1. Conjuntos Absolutos:
  • O Conjunto Vazio varnothing: Por definição de espaço métrico, o conjunto vazio é sempre considerado aberto.
  • O Conjunto X: Da mesma forma, o próprio espaço X é aberto segundo a métrica rho.
Portanto, varnothing in tau e X in tau.
2. União Arbitrária:
  • Se tivermos uma coleção de conjuntos abertos Aii in I, onde cada Ai in tau, então a união cupi in I Ai também é um conjunto aberto segundo a métrica rho. Isso porque, em espaços métricos, a união de qualquer número de conjuntos abertos continua sendo aberta.
3. Interseção Finita:
  • Se tivermos dois conjuntos abertos A e B em tau, então a interseção A cap B também é um conjunto aberto. Mais geralmente, a interseção de um número finito de conjuntos abertos permanece aberta em espaços métricos.

Passo 4

Como verificamos que tau satisfaz todos os três axiomas necessários para ser uma topologia, podemos concluir que (X, tau) é realmente um espaço topológico.

Resposta

Portanto, todo espaço métrico (X, rho) é um espaço topológico, onde os conjuntos abertos definidos pela métrica rho formam a topologia tau. Assim, a menos que seja necessário especificar, os conjuntos abertos segundo uma métrica são simplesmente chamados de abertos em topologia.

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