Se
é uma coleção de
-álgebras em
. Prove que
é também uma
-álgebra em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma coleção de
-álgebras, chamada
, todas definidas em um conjunto
. O objetivo é provar que a interseção de todas essas
-álgebras, ou seja,
, também é uma
-álgebra em
. Para isso, vamos precisar saber o que é uma
-álgebra e quais são suas propriedades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma
-álgebra. Uma
-álgebra em um conjunto
é uma coleção de subconjuntos de
que satisfaz três propriedades:
- Contém o conjunto vazio:
. - Fechada pelo complemento: Se
, então . - Fechada por contagens infinitas de uniões: Se
, então .
Vamos usar essas propriedades para mostrar que a interseção das
-álgebras também satisfaz todas elas.
Passo 3
1. O conjunto vazio está na interseção:
Como cada
-álgebra
contém o conjunto vazio, então na interseção
, o conjunto vazio também está presente. Ou seja,
.
Passo 4
2. Fechada pelo complemento:
Pegue qualquer conjunto
que está na interseção, ou seja,
. Isso significa que
está em cada
. Como cada
é uma
-álgebra, o complemento
também está em cada
. Portanto,
está na interseção
.
Passo 5
3. Fechada por uniões contáveis:
Considere uma sequência de conjuntos
que estão na interseção
. Isso significa que para cada
,
está em cada
. Como cada
é uma
-álgebra, a união
também está em cada
. Assim, a união
está na interseção
.
Resposta
Portanto, mostramos que a interseção
satisfaz todas as propriedades de uma
-álgebra em
. Ou seja,
é também uma
-álgebra em
.