Se Alambdalambda in Lambda é uma coleção de sigma-álgebras em X. Prove que
caplambda in Lambda Alambda
é também uma sigma-álgebra em X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma coleção de sigma-álgebras, chamada Alambdalambda in Lambda, todas definidas em um conjunto X. O objetivo é provar que a interseção de todas essas sigma-álgebras, ou seja, caplambda in Lambda Alambda, também é uma sigma-álgebra em X. Para isso, vamos precisar saber o que é uma sigma-álgebra e quais são suas propriedades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sigma-álgebra. Uma sigma-álgebra em um conjunto X é uma coleção de subconjuntos de X que satisfaz três propriedades:
  1. Contém o conjunto vazio: emptyset in A.
  2. Fechada pelo complemento: Se A in A, então A^c in A.
  3. Fechada por contagens infinitas de uniões: Se Ann=1^infty subseteq A, então cupn=1^infty An in A.
Vamos usar essas propriedades para mostrar que a interseção das sigma-álgebras também satisfaz todas elas.

Passo 3

1. O conjunto vazio está na interseção:
Como cada sigma-álgebra Alambda contém o conjunto vazio, então na interseção caplambda in Lambda Alambda, o conjunto vazio também está presente. Ou seja, emptyset in caplambda in Lambda Alambda.

Passo 4

2. Fechada pelo complemento:
Pegue qualquer conjunto A que está na interseção, ou seja, A in caplambda in Lambda Alambda. Isso significa que A está em cada Alambda. Como cada Alambda é uma sigma-álgebra, o complemento A^c também está em cada Alambda. Portanto, A^c está na interseção caplambda in Lambda Alambda.

Passo 5

3. Fechada por uniões contáveis:
Considere uma sequência de conjuntos Ann=1^infty que estão na interseção caplambda in Lambda Alambda. Isso significa que para cada n, An está em cada Alambda. Como cada Alambda é uma sigma-álgebra, a união cupn=1^infty An também está em cada Alambda. Assim, a união cupn=1^infty An está na interseção caplambda in Lambda Alambda.

Resposta

Portanto, mostramos que a interseção caplambda in Lambda Alambda satisfaz todas as propriedades de uma sigma-álgebra em X. Ou seja, caplambda in Lambda Alambda é também uma sigma-álgebra em X.

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