Qual o significado de cada um dos três termos desta expressão e qual a sua utilidade para a engenharia? \frac{D N_{s c}}{D t}=\frac{d}{d t} \int \eta \rho d K+\int \eta \rho \hat{n} \cdot V d A \quad(1,0 ponto )

Passo 1

O enunciado apresenta o Teorema do Transporte de Reynolds para uma propriedade extensiva N_{s c} de um sistema de massa, com densidade \rho e propriedade específica \eta. A equação relaciona a taxa de variação dessa propriedade seguindo o sistema (Lagrange) com dois termos em um volume de controle (Euler). Vamos detalhar o significado de cada termo e depois comentar sua utilidade prática em engenharia.

Passo 2

O primeiro termo é
\frac{D N_{s c}}{D t}
Este é o lado esquerdo do Teorema de Reynolds e representa a variação total de N_{s c} seguindo o sistema de fluido, ou seja, aquilo que realmente acontece para o conjunto das partículas à medida que elas se movem. Em engenharia, esse é o balanço “verdadeiro” do sistema, mas nem sempre temos acesso direto a ele.

Passo 3

O segundo termo é
\frac{d}{d t} \int_{K} \eta\,\rho \,dK
Este é o termo de acumulação no volume de controle K. Ele mede como a quantidade de propriedade específica \eta (por unidade de massa) multiplicada pela densidade \rho está mudando dentro do volume fixo ou móvel de controle. Em outras palavras, é o ganho ou perda interna da propriedade, sem considerar o que entra ou sai pelas faces do controle.

Passo 4

O terceiro termo é
\int_{\partial K} \eta\,\rho\,\hat{n}\cdot V \,dA
Este é o termo de fluxo convectivo através da superfície de controle \partial K. Ele calcula a taxa líquida com que \eta\rho é levada para dentro ou para fora do volume de controle, pela componente normal \hat{n}\cdot V da velocidade V. Se o fluxo for para fora, contribui negativamente; se entrar, positivamente.

Passo 5

Utilidade em engenharia:
  1. Permite formular balanços de massa \eta=1, de quantidade de movimento \eta=\mathbf{v} e de energia \eta=e ou \eta=h de forma prática em sistemas reais, usando volumes de controle fixos ou móveis.
  2. Facilita o projeto e a análise de turbinas, bombas, trocadores de calor, dutos e veículos, onde acompanhamos o que entra e sai, e o que se armazena internamente.
  3. É a base dos métodos de CFD (Computational Fluid Dynamics) e de cálculo de eficiências em máquinas térmicas e hidráulicas.

Resposta

\displaystyle\frac{D N_{s c}}{D t}: taxa de variação da propriedade extensiva N_{s c} seguindo o sistema de fluido. \displaystyle\frac{d}{d t}\!\int_{K}\eta\,\rho\,dK: taxa de acumulação de \eta\rho dentro do volume de controle K. \displaystyle\int_{\partial K}\eta\,\rho\,\hat{n}\cdot V\,dA: fluxo convectivo de \eta\rho através da superfície de controle.
Utilidade: fundamenta os balanços de massa, momento e energia em engenharia, permitindo analisar máquinas e sistemas de fluxo por meio de volumes de controle.

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