Liste e exemplifique as propriedades dos logaritmos.

Passo 1

O enunciado pede que listemos e exemplifiquemos as principais propriedades dos logaritmos. O conteúdo envolve as regras de como transformar produto, quociente e potência dentro de um logaritmo, além das propriedades especiais de \log_b1 e \log_b b e da fórmula de mudança de base.

Passo 2

A propriedade do produto afirma que, para b>0 e b\neq1, e x>0, y>0, vale
\log_b(xy)=\log_b x+\log_b y.
Exemplo: \log_2(8\cdot4)=\log_2 8+\log_2 4=3+2=5, e de fato \log_2 32=5.

Passo 3

A propriedade do quociente afirma que, para b>0 e b\neq1, e x>0, y>0, vale
\log_b\!\biggl(\frac{x}{y}\biggr)=\log_b x-\log_b y.
Exemplo: \log_3\!\bigl(\tfrac{27}{3}\bigr)=\log_3 27-\log_3 3=3-1=2, e de fato \log_3 9=2.

Passo 4

A propriedade da potência afirma que, para b>0 e b\neq1, e x>0, e k real, vale
\log_b\bigl(x^k\bigr)=k\,\log_b x.
Exemplo: \log_5(25)=\log_5(5^2)=2\log_5 5=2.

Passo 5

Há duas propriedades especiais:
\log_b 1 = 0 \quad\text{e}\quad \log_b b = 1.
Exemplos: \log_{10}1=0 e \log_7 7=1.

Passo 6

A fórmula de mudança de base permite trocar de base b_1 para b_2 em x>0:
\log_{b_2} x = \frac{\log_{b_1} x}{\log_{b_1} b_2}.
Exemplo: \log_2 10 = \dfrac{\ln 10}{\ln 2}.

Resposta

As propriedades dos logaritmos são:
  1. Produto:
\log_b(xy)=\log_b x+\log_b y.
  1. Quociente:
\log_b\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)=\log_b x-\log_b y.
  1. Potência:
\log_b\bigl(x^k\bigr)=k\,\log_b x.
  1. Casos especiais:
\log_b 1 = 0, \quad \log_b b = 1.
  1. Mudança de base:
\log_{b_2} x = \frac{\log_{b_1} x}{\log_{b_1} b_2}.

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