Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x) \cos \left(x^{2} \pi\right)}{\operatorname{sen}(33 x)}

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0sin(3x),cos!l(pi x^2r)sin(33x)
O conteúdo aqui é limite de funções trigonométricas no zero. Vamos usar que sin(u)approx u quando uto0 e a continuidade de cos em zero.

Passo 2

Para separar fatores cuja convergência é conhecida, escrevemos
sin(3x),cos!l(pi x^2r)sin(33x) = sin(3x)3x ;cdot; 33xsin(33x) ;cdot; 3x33x ;cdot; cos!l(pi x^2r)

Passo 3

Sabemos que pela forma fundamental
limxto0sin(3x)3x=1 e limxto033xsin(33x)=1
Além disso,
limxto03x33x=333=111 e limxto0cos!l(pi x^2r)=cos(0)=1

Passo 4

Como o limite de um produto é o produto dos limites, temos
limxto0sin(3x),cos!l(pi x^2r)sin(33x) = 1 cdot 1 cdot 111 cdot 1 = 111

Resposta

111

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