Um silo de 20 itens contém cinco que são defeituosos. Uma amostra de dez itens é selecionada ao acaso, sem reposição. Quantas amostras contêm no mínimo quatro itens defeituosos?

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos 20 itens num silo, sendo 5 defeituosos e 15 bons. A gente pega uma amostra de 10 sem repor nada e quer saber de quantas formas essa amostra pode ter pelo menos 4 itens defeituosos.
Conteúdo: combinatória (combinações) e contagem sem reposição. Vamos usar a fórmula de combinação

para contar quantas maneiras de escolher itens.

Passo 2

O raciocínio é usar o princípio da hipergeométrica: para ter exatamente binom5k;times;binom1510-k defeituosos, escolhemos
  1. dos 5 defeituosos, e
  2. dos 15 bons.
    Logo, o número de amostras com exatamente defeituosos é
Como queremos “pelo menos 4”, vamos somar os casos e .

Passo 3

Caso binom54,binom156 =5times binom156 :
  • 5times5005 = 25025 formas de escolher 4 defeituosos entre os 5, e
  • formas de escolher 6 bons entre os 15.
    Então
Sabendo que , fica

Passo 4

Caso binom55,binom155 =1times3003 = 3003 :
  • forma de pegar todos os 5 defeituosos, e
  • formas de escolher 5 bons.
    Logo

Passo 5

Somamos os dois resultados para cobrir “pelo menos 4”:
25025 ;+; 3003 = 28028

Resposta

28028 amostras.

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