Se X \sim N(100,25), calcule:
P(95 \leq X \leq 105);

Passo 1

O enunciado dá a variável aleatória \,X\sim N(100,25)\, e pede a probabilidade
P(95 \leq X \leq 105).
Informações relevantes fornecidas:
\mu=100 (média),
\sigma^{2}=25 (variância) e portanto \sigma=5 (desvio padrão).
A tarefa é calcular a probabilidade de X estar entre 95 e 105.

Passo 2

Vamos transformar o problema para a forma padrão usando a padronização da normal. Se X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é a variável original;
  • \mu é a média de X;
  • \sigma é o desvio padrão de X;
  • Z tem distribuição normal padrão \,N(0,1), ou seja média 0 e variância 1.
A ideia é trocar a pergunta sobre X por uma equivalente sobre Z, cuja tabela/funcão de distribuição acumulada \Phi é conhecida.

Passo 3

Aplicando a padronização ao intervalo [95,105]:
\frac{95-100}{5}=\frac{-5}{5}=-1,\qquad \frac{105-100}{5}=\frac{5}{5}=1.
Portanto
P(95 \leq X \leq 105)=P\!\left(-1 \leq Z \leq 1\right).

Passo 4

Para a normal padrão usamos a função de distribuição acumulada \Phi(a)=P(Z\leq a). Assim
P(-1\leq Z\leq 1)=\Phi(1)-\Phi(-1).
Usando a simetria da normal (porque ela tem média 0), vale \Phi(-a)=1-\Phi(a). Logo
\Phi(1)-\Phi(-1)=\Phi(1)-\bigl(1-\Phi(1)\bigr)=2\Phi(1)-1.
O valor conhecido da tabela é \Phi(1)\approx 0,8413. Substituindo,
2\cdot 0,8413-1=1,6826-1=0,6826.

Passo 5

Interpretação: a probabilidade de X estar a menos de um desvio padrão da média ( \mu\pm\sigma) é aproximadamente 0,6826, que coincide com a regra prática conhecida como a regra 68\% (parte do empiric rule 68\%-95\%-99,7\%).

Resposta

P(95 \leq X \leq 105)=0,6826

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