Se
, calcule:
Encontre
tal que
.
Encontre
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o valor de
tal que a probabilidade de
ser menor que
é
, isto é,
As informações dadas são:
segue uma distribuição normal com média
e variância
. Portanto temos os parâmetros
Não vou resolver nada ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados do problema.
Passo 2
Entendendo a distribuição normal e a função que estamos invertendo.\n
A variável é normal com média
e desvio padrão
. A função
é a função de distribuição acumulada (CDF) da normal. Para encontrar
a partir de uma probabilidade, usamos a inversa dessa CDF. Em provas, normalmente fazemos isso padronizando para a normal padrão e consultando uma tabela (ou sabendo alguns valores comuns).\n
A padronização é a transformação
A variável
A padronização é a transformação
onde
tem distribuição normal padrão
. Essa transformação nos permite usar tabelas da normal padrão.
Passo 3
Aplicando a padronização ao evento
.\n
Se , então
Se
Portanto queremos encontrar o número
tal que
e depois voltar para
usando
.
Passo 4
Encontrando
tal que
.\n
Observação importante: , então
é negativo (porque a mediana da normal padrão é
). Podemos usar a simetria da normal:
, onde
é a CDF da normal padrão. Se
, então
.\n
Agora procuramos na tabela padrão um valor de CDF igual a . Da tabela padrão (ou lembrança de valores comuns), temos
Observação importante:
Agora procuramos na tabela padrão um valor de CDF igual a
Logo
. Portanto
Passo 5
Voltando para
usando a relação entre
e
.\n
Usamos . Substituindo
,
e
, obtemos
Usamos
Calcule passo a passo:
. Então