Se X \sim N(100,25), calcule:
Encontre x tal que P(X<x)=0,3446.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor de x tal que a probabilidade de X ser menor que x é 0,3446, isto é,
P(X < x) = 0,3446.
As informações dadas são: X segue uma distribuição normal com média 100 e variância 25. Portanto temos os parâmetros
\mu = 100,\qquad \sigma^{2}=25.
Não vou resolver nada ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados do problema.

Passo 2

Entendendo a distribuição normal e a função que estamos invertendo.\n
A variável X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma. A função P(X<x) é a função de distribuição acumulada (CDF) da normal. Para encontrar x a partir de uma probabilidade, usamos a inversa dessa CDF. Em provas, normalmente fazemos isso padronizando para a normal padrão e consultando uma tabela (ou sabendo alguns valores comuns).\n
A padronização é a transformação
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z tem distribuição normal padrão N(0,1). Essa transformação nos permite usar tabelas da normal padrão.

Passo 3

Aplicando a padronização ao evento P(X<x)=0,3446.\n
Se Z=(X-\mu)/\sigma, então
P(X<x)=P\!\left(Z<\frac{x-\mu}{\sigma}\right).
Portanto queremos encontrar o número z tal que
P(Z<z)=0,3446,
e depois voltar para x usando x=\mu+\sigma z.

Passo 4

Encontrando z tal que P(Z<z)=0,3446.\n
Observação importante: 0,3446<0,5, então z é negativo (porque a mediana da normal padrão é 0). Podemos usar a simetria da normal: \Phi(-a)=1-\Phi(a), onde \Phi é a CDF da normal padrão. Se \Phi(z)=0,3446, então \Phi(-z)=1-0,3446=0,6554.\n
Agora procuramos na tabela padrão um valor de CDF igual a 0,6554. Da tabela padrão (ou lembrança de valores comuns), temos
\Phi(0,4)=0,6554.
Logo \Phi(-0,4)=1-0,6554=0,3446. Portanto
z=-0,4.

Passo 5

Voltando para x usando a relação entre x e z.\n
Usamos x=\mu+\sigma z. Substituindo \mu=100, \sigma=\sqrt{25}=5 e z=-0,4, obtemos
x=100+5\cdot(-0,4).
Calcule passo a passo: 5\cdot(-0,4)=-2. Então
x=100-2=98.

Resposta

98

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