Se X \sim N(100,25), calcule:
P(X>110);

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória com distribuição normal N(100,25) e pede a probabilidade
P(X>110).
Informações relevantes fornecidas:
\text{média } \mu = 100,\qquad \text{variância } \sigma^{2}=25.éâ
A pergunta é única: calcular P(X>110).

Passo 2

O que significa calcular P(X>110) para uma normal? A distribuição normal descreve uma curva contínua; a probabilidade P(X>110) é a área sob essa curva à direita de x=110. Para facilitar o cálculo usamos a normal padrão, que é uma normal com média 0 e desvio padrão 1. Transformamos X em uma variável padrão Z.

Passo 3

Definimos a padronização:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média de X e \sigma é o desvio-padrão de X. Aqui \mu=100 e \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{25}=5. Explicando: subtrai-se a média para recentrar em zero e divide-se pelo desvio-padrão para ajustar a escala para unidade 1.

Passo 4

Aplicamos a padronização ao valor x=110:
z=\frac{110-100}{5}=\frac{10}{5}=2.
Portanto P(X>110)=P\!\left(Z>2\right), sendo Z a normal padrão.

Passo 5

Agora usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão \Phi(z)=P(Z\le z). Temos
P(Z>2)=1-P(Z\le 2)=1-\Phi(2).
Também podemos usar a simetria da normal: P(Z>2)=P(Z<-2)=\Phi(-2).

Passo 6

Consultando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora estatística) encontramos
\Phi(2)=0,97725.
Logo
P(Z>2)=1-0,97725=0,02275.

Passo 7

Arredondando de forma usual para quatro casas decimais, obtemos
P(X>110)\approx 0,0228.
Como verificação rápida: pela regra empírica 95\% dos dados ficam em \pm2\sigma em torno da média, então a cauda além de 2\sigma (um lado) tem cerca de 2,5\%; nosso valor 2,28\% está coerente com essa ideia (um pouco menor porque o valor exato é 2,275\%).

Resposta

0,0228

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