Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 verdes. Dessa urna, retiram-se 2 bolas sem reposição. Sejam:

Determines a distribuição conjunta pra X=l 0 se a primeira bola for verde; 1 se a primeira bola for vermelha; Y=l 0 se a segunda bola for verde; 1 se a segunda bola for vermelha; e X;

Passo 1

Beleza, o que a questão tá pedindo? A gente tem uma urna com 3 bolas vermelhas ® e 2 verdes (G). Retiramos 2 bolas SEM repor a primeira antes de tirar a segunda. Definimos duas variáveis aleatórias:
P(X=i,;Y=j) se a 1ª bola for verde e se for vermelha;
se a 2ª bola for verde e se for vermelha.
O que precisamos fazer é encontrar a distribuição conjunta de , ou seja, todas as probabilidades
para .
O conteúdo aqui é Probabilidade Discreta, em especial “distribuição conjunta” e uso de “probabilidade condicional”.

Passo 2

Primeiro, a teoria:
  • A probabilidade conjunta de dois eventos P(A e B);=;P(A),times,P(Bmid A) e é
  • Aqui “ ” é “ ” (resultado do 1º sorteio) e “ ” é “ ” (resultado do 2º sorteio).
  • A probabilidade condicional é a chance de tirar a segunda bola com cor , já sabendo o que saiu na primeira.

Passo 3

Vamos calcular primeiro os casos com P(X=0,,Y=0) = P(X=0),P(Y=0mid X=0) = 25times14 = 220 = 110 (primeira verde).
  1. P(X=0,,Y=1) = 25times34 = 620 = 310 = chance de tirar verde na 1ª = .
    2a) = dado que tirei uma verde, sobra 1 verde e 3 vermelhas em 4 bolas, então .
    Logo
2b) = chance de tirar vermelha no 2º depois de verde = .

Passo 4

Agora os casos com P(X=1,,Y=0) = 35times24 = 620 = 310 (primeira vermelha).
  1. P(X=1,,Y=1) = 35times24 = 620 = 310 = chance de tirar vermelho na 1ª = .
    2a) = dado que saiu vermelho, sobram 2 verdes e 2 vermelhas em 4 bolas, então .
2b) = chance de outro vermelho = .

Resposta

A distribuição conjunta de P(X=0,Y=0)&=tfrac110,& P(X=0,Y=1)&=tfrac310, P(X=1,Y=0)&=tfrac310,& P(X=1,Y=1)&=tfrac310 é:

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