x 1 3 5 7
P(X=x) 1 / 5 1 / 5 2 / 5 1 / 5
Suponha que iremos retirar uma amostra aleatória de tamanho n=2, com reposição, portanto temos X1 e X2 para representar a amostra. Vejamos todas as possibilidades possíveis na tabela abaixo.
X1 1 3 5 7
X2
1 (1 ; 1) (1 ; 3) (1 ; 5) (1 ; 7)
3 (3 ; 1) (3 ; 3) (3 ; 5) (3 ; 7)
5 (5 ; 1) (5 ; 3) (5 ; 5) (5 ; 7)
7 (7 ; 1) (7 ; 3) (7 ; 5) (7 ; 7)
Encontre a distribuição amostral de W=X(n)-X(1), em que X(n) é o máximo e X(1) é o mínimo da amostra.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma v.a. discreta X com valores {1,3,5,7} e probabilidades
P(X=1)=tfrac15,;P(X=3)=tfrac15,;P(X=5)=tfrac25,;P(X=7)=tfrac15
A gente tira uma amostra de tamanho W = X(n) - X(1), com reposição, então as duas observações e são independentes e têm a mesma distribuição. O que queremos é achar a “distribuição amostral” de
onde e .
Conteúdo: variáveis aleatórias discretas, probabilidade conjunta (independência) e função massa de probabilidade de transformação de variável.

Passo 2

Primeiro a gente vê que cada par P(X1=xi,X2=xj)=P(X1=xi),P(X2=xj) tem probabilidade
W = max(xi,xj) - min(xi,xj)
por independência. São pares. Para cada par calculamos
Os valores possíveis de são:
0 (quando ),
2 (quando a diferença é 2),
4 (diferença 4) e
6 (diferença 6).

Passo 3

Calcular P(W=0) =sumxin1,3,5,7P(X1=x)P(X2=x) =l(tfrac15r)^2+l(tfrac15r)^2+l(tfrac25r)^2+l(tfrac15r)^2 =tfrac1+1+4+125 =tfrac725 . Isso acontece só se . Então

Passo 4

Agora P(W=2) =2l[tfrac15cdottfrac15r] +2l[tfrac15cdottfrac25r] +2l[tfrac25cdottfrac15r] =tfrac225+tfrac425+tfrac425 =tfrac1025=tfrac25 . A diferença de 2 ocorre nos pares P(W=4) =2l[tfrac15cdottfrac25r] +2l[tfrac15cdottfrac15r] =tfrac425+tfrac225 =tfrac625 .
P(W=6) =2l[tfrac15cdottfrac15r] =tfrac225
Para , pares :
Para , pares :

Resposta

A distribuição de P(W=0)&=tfrac725, P(W=2)&=tfrac1025=tfrac25, P(W=4)&=tfrac625, P(W=6)&=tfrac225 é

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