O símbolo de<ai j é conhecido como delta de Kronecker e em muitos livros este símbolo é utilizado para representar a matriz identidade de ordem n, ou seja,
In=[de<ai j]=lll 1 & se i=j 0 & se & i neq j
Agora sejam A=[ai j] in R^m times n e as matrizes unitárias Ei j=[ep q] in R^m times n, onde:
ep q=de<ap i de<aq j=lll 1 & se & (p, q)=(i, j) 0 & se & (p, q) neq cdot(i, j)
Sendo Ei j in R^2 times 2 determine todas as matrizes unitárias e note que:
A=sumj=1^2 sumi=1^2 ai j Ei j

Passo 1

O enunciado define a matriz unitária
Vamos então listar todas as quatro matrizes e depois mostrar que qualquer
pode ser escrito como

Passo 2

Usando a definição, obtemos:
E11= 1 & 0 0 & 0
E12= 0 & 1 0 & 0
E21= 0 & 0 1 & 0
E22= 0 & 0 0 & 1

Passo 3

Para ver a expansão de qualquer
;A=[,aij,]inR^2times2, note que na soma dupla
sumi=1^2sumj=1^2aijEij
a entrada (p,q) vale
sumi=1^2sumj=1^2aij,(Eij)pq =sumi=1^2sumj=1^2aij,de<api,de<aqj =;apq,,
portanto a matriz resultante tem exatamente apq em cada posição (p,q), isto é, é igual a A.

Resposta

As quatro matrizes unitárias em R^2times2 são
E11=1&00&0, E12=0&10&0, E21=0&01&0, E22=0&00&1
E para qualquer A=[aij] vale
A=sumi=1^2sumj=1^2aij,Eij,

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