O símbolo
é conhecido como delta de Kronecker e em muitos livros este símbolo é utilizado para representar a matriz identidade de ordem
, ou seja,
Agora sejam
A=[ai j] in R^m times n e as matrizes unitárias
Ei j=[ep q] in R^m times n , onde:
ep q=de<ap i de<aq j=lll 1 & se & (p, q)=(i, j) 0 & se & (p, q) neq cdot(i, j)
Sendo
Ei j in R^2 times 2 determine todas as matrizes unitárias e note que:
A=sumj=1^2 sumi=1^2 ai j Ei j
Passo 1
O enunciado define a matriz unitária
Vamos então listar todas as quatro matrizes e depois mostrar que qualquer
pode ser escrito como
Passo 2
Usando a definição, obtemos:
Passo 3
Para ver a expansão de qualquer
;A=[,aij,]inR^2times2 , note que na soma dupla
sumi=1^2sumj=1^2aijEij
a entrada(p,q) vale
a entrada
portanto a matriz resultante tem exatamente
apq em cada posição
(p,q) , isto é, é igual a
A .
Resposta
As quatro matrizes unitárias em
R^2times2 são
E para qualquer
A=[aij] vale