O simétrico do ponto \mathrm{A}=(1,3) em relação ao ponto P=(3,1) é:

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o simétrico do ponto \mathrm{A}=(1,3) em relação ao ponto P=(3,1).
Informações dadas:
  • Ponto original: \mathrm{A}=(1,3).
  • Ponto de simetria: P=(3,1).
  • Objetivo: achar o ponto \mathrm{A}' tal que ele seja o reflexo de \mathrm{A} em relação a P.

Passo 2

Conceito importante (explicadinho): ser simétrico de \mathrm{A} em relação a P significa que P é o ponto médio do segmento que liga \mathrm{A} a \mathrm{A}'.
Fórmula do ponto médio: dados dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), o ponto médio M tem coordenadas
M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right).
Isso vem da ideia simples de média aritmética: a coordenada do meio é a média das coordenadas dos extremos.

Passo 3

Aplicando o conceito ao nosso caso: seja \mathrm{A}'=(x',y'). Como P é o ponto médio de \mathrm{A} e \mathrm{A}', temos o sistema (cada equação diz que a média das coordenadas é a coordenada correspondente de P):
\dfrac{1+x'}{2}=3, \qquad \dfrac{3+y'}{2}=1.

Passo 4

Resolver cada equação passo a passo.
Para a coordenada x':
\dfrac{1+x'}{2}=3
Multiplica-se ambos os lados por 2:
1+x'=6
Subtrai-se 1:
x'=5.
Para a coordenada y':
\dfrac{3+y'}{2}=1
Multiplica-se ambos os lados por 2:
3+y'=2
Subtrai-se 3:
y'=-1.

Passo 5

Resultado encontrado: \mathrm{A}'=(5,-1).
Verificação rápida (para ficar mais seguro): o ponto médio de \mathrm{A}=(1,3) e \mathrm{A}'=(5,-1) é
\left(\dfrac{1+5}{2},\\ \dfrac{3+(-1)}{2}\right)=\left(\dfrac{6}{2},\\ \dfrac{2}{2}\right)=(3,1),
que é exatamente P. Bingo — está correto.

Passo 6

Dica útil para a prova (fórmula pronta): o simétrico de (x_a,y_a) em relação ao ponto (x_p,y_p) é
(x',y')=(2x_p-x_a,\\\ 2y_p-y_a).
No nosso caso isso dá (2\cdot3-1,\\\ 2\cdot1-3)=(5,-1). Use essa fórmula quando precisar ser rápido — depois sempre verifique calculando o ponto médio.

Resposta

(5,-1)

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