1. (Simon & Blume - Exercício 9.11) Sabendo que A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} \operatorname{Adj}(A), inverta as seguintes matrizes:
    \left[\begin{array}{ll}4 & 3 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para inverter a matriz
A = \begin{pmatrix}4 & 3 \\[6pt] 1 & 1\end{pmatrix}
usando a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{Adj}(A).
O conteúdo aqui é inversão de matrizes 2\times 2 e vamos precisar calcular o determinante e a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores).]

Passo 2

Calcular o determinante de A. Para uma matriz
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
temos \det = ad - bc. Assim,
\det(A) = 4\cdot1 \;-\; 3\cdot1 = 4 - 3 = 1.

Passo 3

Construir a matriz adjunta de A. Em uma 2\times 2 isso equivale a trocar a com d e mudar o sinal de b e c. Logo,
\mathrm{Adj}(A) = \begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -3 \\[4pt] -1 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Aplicar a fórmula da inversa:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{Adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{pmatrix}1 & -3 \\[4pt] -1 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -3 \\[4pt] -1 & 4\end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -3 \\[6pt] -1 & 4\end{pmatrix}.]

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