- (Simon & Blume - Exercício 26.16) Prove os seguintes resultados para matrizes
:
para inteiros positivos
;
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para qualquer matriz quadrada
de ordem
e qualquer inteiro positivo
, vale
O conteúdo chave que vamos usar é a propriedade multiplicativa do determinante:
válida para quaisquer matrizes quadradas
e
de mesma ordem.
Passo 2
Verificamos o caso-base
. Nesse caso
, logo
portanto a igualdade é trivialmente satisfeita para
.
Passo 3
Suponha que a propriedade seja válida para algum inteiro positivo
, isto é, assuma
Então, para
, escrevemos
Aplicando a propriedade multiplicativa do determinante, obtemos
Pela hipótese de indução,
Assim concluímos que a propriedade vale para
.
Passo 4
Pelo princípio da indução matemática, como a propriedade vale para
e de
implica
, segue-se que
para todo inteiro positivo
.
Resposta
conforme desejado.