1. (Simon & Blume - Exercício 26.16) Prove os seguintes resultados para matrizes n \times n :
    \operatorname{det}\left(A^{k}\right)=[\operatorname{det}(A)]^{k} para inteiros positivos k;

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para qualquer matriz quadrada A de ordem n e qualquer inteiro positivo k, vale
\det\bigl(A^{k}\bigr) \;=\;\bigl[\det(A)\bigr]^{k}.
O conteúdo chave que vamos usar é a propriedade multiplicativa do determinante:
\det(AB)=\det(A)\,\det(B),
válida para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem.

Passo 2

Verificamos o caso-base k=1. Nesse caso A^{1}=A, logo
\det\bigl(A^{1}\bigr)=\det(A) \quad\text{e}\quad \bigl[\det(A)\bigr]^{1}=\det(A),
portanto a igualdade é trivialmente satisfeita para k=1.

Passo 3

Suponha que a propriedade seja válida para algum inteiro positivo k-1, isto é, assuma
\det\bigl(A^{\,k-1}\bigr) =\bigl[\det(A)\bigr]^{\,k-1}.
Então, para k, escrevemos
A^{k}=A\cdot A^{\,k-1}.
Aplicando a propriedade multiplicativa do determinante, obtemos
\det\bigl(A^{k}\bigr) =\det\bigl(A\cdot A^{\,k-1}\bigr) =\det(A)\,\det\bigl(A^{\,k-1}\bigr).
Pela hipótese de indução,
\det(A)\,\det\bigl(A^{\,k-1}\bigr) =\det(A)\,\bigl[\det(A)\bigr]^{\,k-1} =\bigl[\det(A)\bigr]^{\,k}.
Assim concluímos que a propriedade vale para k.

Passo 4

Pelo princípio da indução matemática, como a propriedade vale para k=1 e de k-1 implica k, segue-se que
\det\bigl(A^{k}\bigr) =\bigl[\det(A)\bigr]^{\,k}
para todo inteiro positivo k.

Resposta

\det\bigl(A^{k}\bigr) =\bigl[\det(A)\bigr]^{\,k},
conforme desejado.

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