- (Simon & Blume - Exercício 26.16) Prove os seguintes resultados para matrizes
:
para todo inteiro
se
é invertível.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz invertível
, vale
para todo inteiro
. Para isso vamos usar:
- A propriedade multiplicativa do determinante, isto é,
. - Indução em
para o caso . - O fato de que
sempre que é invertível.
Passo 2
Caso
. Prova por indução em
:
- Base
: trivial, pois . - Passo indutivo: suponha que
para algum . Então
Isso fecha a indução e garante a fórmula para todo
.
Passo 3
Caso
. Por definição
, onde
é a identidade. Logo
portanto a fórmula vale também em
.
Passo 4
Caso
. Escreva
com
. Então
Como
é invertível, sabemos que
. Aplicando o resultado do caso positivo a
, obtemos
Resposta
Para todo inteiro
e toda matriz invertível
, vale