1. (Simon & Blume - Exercício 26.16) Prove os seguintes resultados para matrizes n \times n :
    \operatorname{det}\left(A^{k}\right)=[\operatorname{det}(A)]^{k} para todo inteiro k se A é invertível.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz invertível A\in M_{n\times n}, vale
\det(A^k) = \bigl(\det(A)\bigr)^k
para todo inteiro k. Para isso vamos usar:
  1. A propriedade multiplicativa do determinante, isto é, \det(AB)=\det(A)\,\det(B).
  2. Indução em k para o caso k>0.
  3. O fato de que \det(A^{-1})=1/\det(A) sempre que A é invertível.

Passo 2

Caso k\ge1. Prova por indução em k:
  • Base k=1: trivial, pois \det(A^1)=\det(A)=(\det(A))^1.
  • Passo indutivo: suponha que \det(A^k)=(\det(A))^k para algum k\ge1. Então
A^{k+1}=A^k\,A \quad\Longrightarrow\quad \det(A^{k+1}) =\det(A^kA) =\det(A^k)\,\det(A) =(\det(A))^k\,\det(A) =(\det(A))^{k+1}.
Isso fecha a indução e garante a fórmula para todo k\in\mathbb{N}.

Passo 3

Caso k=0. Por definição A^0=I, onde I é a identidade. Logo
\det(A^0)=\det(I)=1 \quad\text{e}\quad (\det(A))^0=1,
portanto a fórmula vale também em k=0.

Passo 4

Caso k<0. Escreva k=-m com m>0. Então
A^k = A^{-m} = (A^{-1})^m.
Como A é invertível, sabemos que \det(A^{-1})=1/\det(A). Aplicando o resultado do caso positivo a A^{-1}, obtemos
\det(A^k) =\det\bigl((A^{-1})^m\bigr) =\bigl(\det(A^{-1})\bigr)^m =\Bigl(\tfrac{1}{\det(A)}\Bigr)^m =(\det(A))^{-m} =(\det(A))^k.

Resposta

Para todo inteiro k e toda matriz invertível A\in M_{n\times n}, vale
\det(A^k)=\bigl(\det(A)\bigr)^k.

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