(Simon & Blume - Exercício 18.6) Encontre o máximo e o mínimo de f(x, y, z)=x+y+z^{2} sujeito a x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
f(x,y,z)=x+y+z^2
sujeito às restrições
x^2+y^2+z^2=1 \quad\text{e}\quad y=0.
Isso é um problema de otimização com restrição, e podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange ou, antes, eliminar a variável y para reduzir a dimensão.

Passo 2

Como a restrição y=0 deve valer, podemos substituir diretamente em f e na esfera. Definimos a função reduzida
g(x,z)=f(x,0,z)=x+z^2
com a restrição
x^2+z^2=1.
Agora é um problema de otimização em duas variáveis com uma única restrição.

Passo 3

Aplicamos o método de Lagrange: definimos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,z,\lambda)=x+z^2-\lambda\bigl(x^2+z^2-1\bigr).

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=1-2\lambda x=0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}=2z-2\lambda z=0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(x^2+z^2-1)=0.

Passo 5

Das equações obtemos:
– De \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}=0 segue 2z(1-\lambda)=0, logo ou z=0 ou \lambda=1.
  1. Se z=0, então da restrição vem x^2=1, ou seja x=\pm1.
  2. Se \lambda=1, então de 1-2\lambda x=0 obtemos 1-2x=0, isto é x=\tfrac12, e da restrição z^2=1-x^2=1-\tfrac14=\tfrac34, logo z=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Agora avaliamos g nos pontos críticos:
– Em (x,z)=(1,0):
g(1,0)=1+0=1.
– Em (x,z)=(-1,0):
g(-1,0)=-1+0=-1.
– Em \bigl(x,z\bigr)=\bigl(\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr):
g\Bigl(\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) =\tfrac12+\Bigl(\pm\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^{\!2} =\tfrac12+\tfrac34=\tfrac54.
Comparando, o maior valor é \tfrac54 e o menor é -1.

Resposta

Máximo global f=5/4 nos pontos \bigl(\tfrac12,0,\pm\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).
Mínimo global f=-1 no ponto (-1,0,0).

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