(Simon & Blume - Exercício 18.5) Encontre o ponto mais próximo da origem no
que está em ambos os planos
e
Passo 1
O enunciado pede o ponto de
mais próximo da origem que pertence simultaneamente aos planos
e
O conteúdo é minimizar a distância ao quadrado
sob as duas restrições lineares. Vamos usar multiplicadores de Lagrange para resolver.
Passo 2
Denotemos
e as restrições por
Definimos a Lagrangiana
Passo 3
As condições de ótimo são
além de
Chamando
essa condição vira
onde
.
Passo 4
Da primeira relação
. Substituindo em
dá
cuja inversa é
Logo
Então
Passo 5
Verificamos que esse ponto satisfaz
e é, pela construção de Lagrange, o mais próximo da origem.