(Simon & Blume - Exercício 18.5) Encontre o ponto mais próximo da origem no \mathbb{R}^{3} que está em ambos os planos 3 x+y+z=5 e x+y+z=1

Passo 1

O enunciado pede o ponto de \mathbb{R}^3 mais próximo da origem que pertence simultaneamente aos planos
3x + y + z = 5
e
x + y + z = 1.
O conteúdo é minimizar a distância ao quadrado
f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2
sob as duas restrições lineares. Vamos usar multiplicadores de Lagrange para resolver.

Passo 2

Denotemos x = (x,y,z)^\top e as restrições por
g_1(x) = 3x + y + z - 5 = 0, \qquad g_2(x) = x + y + z - 1 = 0.
Definimos a Lagrangiana
\mathcal{L}(x,\lambda_1,\lambda_2) = x^\top x \;-\;\lambda_1\,(3x+y+z-5)\;-\;\lambda_2\,(x+y+z-1).

Passo 3

As condições de ótimo são
\nabla_x \mathcal{L} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\,x = \lambda_1\begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} +\lambda_2\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},
além de
g_1(x)=0, \qquad g_2(x)=0.
Chamando
A = \begin{pmatrix}3 & 1 & 1\\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}5\\\ 1\end{pmatrix},
essa condição vira
2x = A^\top \lambda, \qquad A\,x = b,
onde \lambda=(\lambda_1,\lambda_2)^\top.

Passo 4

Da primeira relação x = \tfrac12 A^\top \lambda. Substituindo em A x = b
\tfrac12\,A\,A^\top \,\lambda = b \quad\Longrightarrow\quad A\,A^\top = \begin{pmatrix}11 &5\\\ 5&3\end{pmatrix},
cuja inversa é
(A\,A^\top)^{-1} = \frac1{8}\begin{pmatrix}3 & -5\\\ -5 & 11\end{pmatrix}.
Logo
\lambda = 2\,(A\,A^\top)^{-1} b =2\cdot\frac1{8}\begin{pmatrix}3 & -5\\\ -5 & 11\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\\ 1\end{pmatrix} =\frac1{4}\begin{pmatrix}10\\\ -14\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5/4\\\ -7/4\end{pmatrix}.
Então
x = \tfrac12\,A^\top \lambda =\tfrac12 \begin{pmatrix}3 &1\\\ 1 &1\\\ 1 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5/4\\\ -7/4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ -1/2\\\ -1/2\end{pmatrix}.

Passo 5

Verificamos que esse ponto satisfaz
3\cdot2 +(-\tfrac12)+(-\tfrac12)=5, \quad 2 +(-\tfrac12)+(-\tfrac12)=1,
e é, pela construção de Lagrange, o mais próximo da origem.

Resposta

(2,\,-\tfrac12,\,-\tfrac12).

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