(Simon & Blume - Exercício 21.2) Classifique cada uma das funções abaixo de acordo com a sua concavidade/convexidade ou quase-concavidade/quase-convexidade. f(x, y, z)=3 e^{x}+5 y^{4}-\ln z;
Passo 1
O enunciado pede para classificar a função
f(x,y,z)=3e^{x}+5y^{4}-\ln z
quanto à convexidade, concavidade, quase-convexidade ou quase-concavidade.
Estamos lidando com uma função duas vezes diferencível de \mathbb R^3 (domínio: x,y em \mathbb R qualquer e z>0), e a forma padrão de decidir convexidade ou concavidade é examinar a matriz Hessiana e verificar se ela é positiva semidefinida (convexa) ou negativa semidefinida (côncava).
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro as primeiras derivadas para depois obter a Hessiana:
Verificamos o sinal dos autovalores (que aqui são os elementos da diagonal): \,3e^{x}>0 para todo x, \,60y^{2}\ge0 (igual a zero só se y=0), \,\tfrac1{z^{2}}>0 para todo z>0.
Portanto a Hessiana é positiva semidefinida em todo o domínio (positiva definida quando y\neq0).
Passo 4
Como \nabla^{2}f é positiva semidefinida, f é convexa. Não é côncava porque a Hessiana não é negativa semidefinida. E toda função convexa é também quase-convexa, mas não pode ser quase-côncava (pois isso exigiria concavidade fraca).
Resposta
A função f(x,y,z)=3e^{x}+5y^{4}-\ln z é convexa (logo também quase-convexa) e não é côncava nem quase-côncava.