- (Simon & Blume - Exercício 26.16) Prove os seguintes resultados para matrizes
:
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para toda matriz quadrada
de ordem
, vale
O que vamos usar é a multilinearidade do determinante em relação às colunas (ou linhas): se multiplicamos uma coluna por um escalar, o determinante todo é multiplicado por esse escalar.
Passo 2
Escrevemos
em termos de suas colunas:
Então
pois multiplicar a matriz inteira por
equivale a multiplicar cada coluna por
.
Passo 3
Pela multilinearidade em relação à primeira coluna, temos
Passo 4
Agora aplicamos a multilinearidade à segunda coluna:
Repetindo esse argumento coluna a coluna, cada vez extraímos um fator
.
Passo 5
Depois de extrair
de cada uma das
colunas, obtemos