1. (Simon & Blume - Exercício 26.16) Prove os seguintes resultados para matrizes n \times n :
    \operatorname{det}(-A)=(-1)^{n} \operatorname{det}(A);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para toda matriz quadrada A de ordem n, vale
\det(-A)=(-1)^{n}\,\det(A).
O que vamos usar é a multilinearidade do determinante em relação às colunas (ou linhas): se multiplicamos uma coluna por um escalar, o determinante todo é multiplicado por esse escalar.

Passo 2

Escrevemos A em termos de suas colunas:
A = \bigl[\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\dots,\mathbf{a}_n\bigr].
Então
-\,A = \bigl[-\mathbf{a}_1,\,-\mathbf{a}_2,\dots,\,-\mathbf{a}_n\bigr],
pois multiplicar a matriz inteira por -1 equivale a multiplicar cada coluna por -1.

Passo 3

Pela multilinearidade em relação à primeira coluna, temos
\det\bigl[-\mathbf{a}_1,\,-\mathbf{a}_2,\dots,\,-\mathbf{a}_n\bigr] = (-1)\,\det\bigl[\mathbf{a}_1,\,-\mathbf{a}_2,\dots,\,-\mathbf{a}_n\bigr].

Passo 4

Agora aplicamos a multilinearidade à segunda coluna:
\det\bigl[\mathbf{a}_1,\,-\mathbf{a}_2,\dots,\,-\mathbf{a}_n\bigr] = (-1)\,\det\bigl[\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\,-\mathbf{a}_3,\dots,\,-\mathbf{a}_n\bigr].
Repetindo esse argumento coluna a coluna, cada vez extraímos um fator (-1).

Passo 5

Depois de extrair (-1) de cada uma das n colunas, obtemos
\det(-A) = (-1)\times(-1)\times\cdots\times(-1)\;\det\bigl[\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_n\bigr] = (-1)^{n}\,\det(A).

Resposta

\det(-A)=(-1)^{n}\,\det(A).

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