1. (Simon & Blume - Exercício 8.7) Mostre que A=\left[\begin{array}{ll}-1 & 2 \\\\ -1 & 2\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}3 & 6 \\\\ -1 & -2\end{array}\right] são idempotentes.

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes A e B abaixo:
A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\\\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\\\ -1 & -2 \end{pmatrix}.
Precisamos mostrar que cada uma é idempotente, isto é, que M^2 = M para M=A e para M=B. Para isso usaremos a definição de multiplicação de matrizes, segundo a qual
(M^2)_{ij} = \sum_{k=1}^2 M_{ik} M_{kj}\,.

Passo 2

Para A, aplicamos a regra de multiplicação e obtemos
A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} (-1)\cdot(-1) + 2\cdot(-1) & (-1)\cdot2 + 2\cdot2 \\\ (-1)\cdot(-1) + 2\cdot(-1) & (-1)\cdot2 + 2\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\\\ -1 & 2 \end{pmatrix} = A.
Logo, A^2 = A.

Passo 3

Para B, fazemos cálculo análogo:
B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix} 3\cdot3 + 6\cdot(-1) & 3\cdot6 + 6\cdot(-2) \\\ (-1)\cdot3 + (-2)\cdot(-1) & (-1)\cdot6 + (-2)\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\\\ -1 & -2 \end{pmatrix} = B.
Portanto, B^2 = B.

Resposta

Como A^2 = A e B^2 = B, ambas as matrizes são idempotentes.

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