O conteúdo principal aqui é a multiplicatividade do determinante. Para isso vamos usar a caracterização do determinante como a única aplicação que é multilinear pelas colunas, alternante e normalizada em I.
Passo 2
Primeiro provamos o caso r=2. Definimos, para matriz fixa A, a aplicação
f(B)\;=\;\det\bigl(A\,B\bigr),
onde B varia em todas as matrizes n\times n. Sejam b_{1},\dots,b_{n} as colunas de B. Então as colunas de AB são A\,b_{1},\dots,A\,b_{n}. Como cada A\,b_{j} é combinação linear das entradas de b_{j}, segue que
f(B) é multilinear em (b_{1},\dots,b_{n}) (herda a multilinearidade do determinante em suas colunas);
f(B)=0 sempre que duas colunas de B se repetem, pois então AB também teria colunas repetidas e seu determinante seria zero (alternância);
Para B=I (identidade),
f(I)=\det(A\,I)=\det(A).
Pelas propriedades de unicidade do determinante (única forma multilinear, alternante e tal que \det(I)=1), concluímos que