1. (Simon & Blume - Exercício 26.16) Prove os seguintes resultados para matrizes n \times n :
    \operatorname{det}\left(A_{1} \ldots A_{r}\right)=\operatorname{det}\left(A_{1}\right) \ldots \operatorname{det}\left(A_{r}\right);

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer matrizes quadradas n\times n
A_{1},A_{2},\dots,A_{r},
vale
\det\bigl(A_{1}A_{2}\cdots A_{r}\bigr) =\det(A_{1})\;\det(A_{2})\;\cdots\;\det(A_{r}).
O conteúdo principal aqui é a multiplicatividade do determinante. Para isso vamos usar a caracterização do determinante como a única aplicação que é multilinear pelas colunas, alternante e normalizada em I.

Passo 2

Primeiro provamos o caso r=2. Definimos, para matriz fixa A, a aplicação
f(B)\;=\;\det\bigl(A\,B\bigr),
onde B varia em todas as matrizes n\times n. Sejam b_{1},\dots,b_{n} as colunas de B. Então as colunas de AB são A\,b_{1},\dots,A\,b_{n}. Como cada A\,b_{j} é combinação linear das entradas de b_{j}, segue que
  1. f(B) é multilinear em (b_{1},\dots,b_{n}) (herda a multilinearidade do determinante em suas colunas);
  2. f(B)=0 sempre que duas colunas de B se repetem, pois então AB também teria colunas repetidas e seu determinante seria zero (alternância);
  3. Para B=I (identidade),
f(I)=\det(A\,I)=\det(A).
Pelas propriedades de unicidade do determinante (única forma multilinear, alternante e tal que \det(I)=1), concluímos que
f(B)\;=\;\underbrace{f(I)}_{=\det(A)}\;\det(B) \;=\;\det(A)\,\det(B).
Em outras palavras,
\det(AB)=\det(A)\,\det(B).

Passo 3

Para r>2 basta usar indução simples. Suponha que para todo k<r já sabemos
\det\bigl(A_{1}\cdots A_{k}\bigr) =\det(A_{1})\cdots\det(A_{k}).
Então, aplicando o caso r=2 a A_{1}\cdots A_{r-1} e A_{r}, obtemos
\det\bigl(A_{1}A_{2}\cdots A_{r-1}A_{r}\bigr) =\det\bigl(A_{1}\cdots A_{r-1}\bigr)\;\det(A_{r}) =\bigl[\det(A_{1})\cdots\det(A_{r-1})\bigr]\;\det(A_{r}),
o que fecha a indução.

Resposta

\boxed{\det\bigl(A_{1}A_{2}\cdots A_{r}\bigr) =\det(A_{1})\,\det(A_{2})\,\cdots\,\det(A_{r}).}

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