1. (Simon & Blume - Exercício 7.3) Resolva os seguintes sistemas por eliminação de GaussJordan:
    \left\{\begin{array}{l}4 x+2 y-3 z=1 \\\\ 6 x+3 y-5 z=0 \\\ x+y+2 z=9 ;\end{array}\right.

Passo 1

Estamos resolvendo o sistema
\begin{cases} 4x + 2y - 3z = 1,\\\\ 6x + 3y - 5z = 0,\\\ x + y + 2z = 9 \end{cases}
pelo método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares até chegar à forma reduzida.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
\begin{pmatrix} 4 & 2 & -3 & \vline & 1\\\\ 6 & 3 & -5 & \vline & 0\\\\ 1 & 1 & 2 & \vline & 9 \end{pmatrix}
e em seguida faremos pivoteamento e eliminação.

Passo 3

Primeiro escolhemos o elemento 4 em \text{R}_1 como pivô de x. Dividimos \text{R}_1 por 4 e zeramos as entradas abaixo na coluna 1:
\begin{aligned} \text{R}_1 &\leftarrow \tfrac14\,\text{R}_1,\\\ \text{R}_2 &\leftarrow \text{R}_2 - 6\,\text{R}_1,\\\ \text{R}_3 &\leftarrow \text{R}_3 - 1\,\text{R}_1. \end{aligned}
O resultado é
\begin{pmatrix} 1 & \tfrac12 & -\tfrac34 & \vline & \tfrac14\\\\ 0 & 0 & -\tfrac12 & \vline & -\tfrac32\\\\ 0 & \tfrac12 & \tfrac{11}{4} & \vline & \tfrac{35}{4} \end{pmatrix}.

Passo 4

Para pivotar em y, trocamos \text{R}_2 com \text{R}_3, normalizamos a nova \text{R}_2 dividindo por \tfrac12 e zeramos o y em \text{R}_1:
\begin{aligned} \text{R}_2 &\leftrightarrow \text{R}_3,\\\ \text{R}_2 &\leftarrow \tfrac{1}{\tfrac12}\,\text{R}_2,\\\ \text{R}_1 &\leftarrow \text{R}_1 - \tfrac12\,\text{R}_2. \end{aligned}
Isso leva a
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac72 & \vline & -\tfrac{17}{2}\\\\ 0 & 1 & \tfrac{11}{2} & \vline & \tfrac{35}{2}\\\\ 0 & 0 & -\tfrac12 & \vline & -\tfrac32 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente, pivotamos em z na linha 3 dividindo por -\tfrac12 e depois zeramos as entradas de z em \text{R}_1 e \text{R}_2:
\begin{aligned} \text{R}_3 &\leftarrow \tfrac{1}{-\tfrac12}\,\text{R}_3,\\\ \text{R}_1 &\leftarrow \text{R}_1 + \tfrac72\,\text{R}_3,\\\ \text{R}_2 &\leftarrow \text{R}_2 - \tfrac{11}{2}\,\text{R}_3. \end{aligned}
Assim chegamos à forma
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vline & 2\\\\ 0 & 1 & 0 & \vline & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & \vline & 3 \end{pmatrix}.

Resposta

x=2,\;y=1,\;z=3.

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