Simplifica as expressões
\frac{x^{4}-2 x^{3}+x^{2}-2 x}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a função racional
\frac{x^{4}-2x^{3}+x^{2}-2x}{x^{2}-4}.
O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios e cancelamento de fatores comuns em frações.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador por agrupamento. Primeiro, extraímos x:
x^{4}-2x^{3}+x^{2}-2x = x\bigl(x^{3}-2x^{2}+x-2\bigr).
Em seguida, fatoramos o polinômio cúbico \;x^{3}-2x^{2}+x-2; também por agrupamento:
x^{3}-2x^{2}+x-2 = x^{2}(x-2)+1\,(x-2) = (x^{2}+1)(x-2).
Logo,
x^{4}-2x^{3}+x^{2}-2x = x\,(x^{2}+1)\,(x-2).

Passo 3

Agora fatoramos o denominador:
x^{2}-4 = (x-2)(x+2).
Substituindo na fração, temos
\frac{x\,(x^{2}+1)\,(x-2)}{(x-2)(x+2)}.
Como x\neq2 (para não anular o denominador original), podemos cancelar o fator (x-2).

Passo 4

Após o cancelamento, a expressão simplificada é
\frac{x\,(x^{2}+1)}{x+2},
com a condição de que x\neq2 e x\neq-2 (para manter o denominador não nulo).

Resposta

\frac{x\,(x^{2}+1)}{x+2},\quad x\neq2,\;x\neq-2.

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