Questão 3. Considere a função
.
(a) Determine a taxa de variação máxima de
em
e a direção em que isso ocorre.
(b) Determine a derivada direcional de
em
na direção
.
(c) Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem de
, e as calcule no ponto (
).
(a) Determine a taxa de variação máxima de
(b) Determine a derivada direcional de
(c) Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem de
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
(a) a taxa de variação máxima em e sua direção;
(b) a derivada direcional em na direção
;
(c) todas as segundas derivadas parciais de e seus valores em
.
Precisaremos do gradiente para (a) e (b) e do cálculo de derivadas parciais sucessivas para (c).
(a) a taxa de variação máxima em
(b) a derivada direcional em
(c) todas as segundas derivadas parciais de
Precisaremos do gradiente para (a) e (b) e do cálculo de derivadas parciais sucessivas para (c).
Passo 2
Calculamos o gradiente
.
Para temos
Para
Para
temos
Em
isso vale
Logo
Passo 3
(a) A taxa de variação máxima é o módulo do gradiente e ocorre na direção do próprio gradiente.
na direção do vetor
, ou seja, na direção do eixo
positivo.
Passo 4
(b) Para a derivada direcional em
normalizamos
Então
Passo 5
(c) Calculamos as segundas derivadas parciais em geral:
Em
isso dá
E por simetria
.
Resposta
(a) Taxa de variação máxima
, na direção
.
(b) Derivada direcional .
(c) Em :
(b) Derivada direcional
(c) Em