Simplifica as expressões numéricas que se seguem.
\frac{\left(\frac{2}{4}\right)^{2} \div\left(\frac{7}{4}\right)^{2}}{\left(\frac{2}{7}\right)^{4}}-\left[\left(\frac{2}{7}\right)^{2}\right]^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\left(\frac{2}{4}\right)^{2} \div\left(\frac{7}{4}\right)^{2}}{\left(\frac{2}{7}\right)^{4}}-\left[\left(\frac{2}{7}\right)^{2}\right]^{-1}.
Informações dadas (apenas relembrando os termos que aparecem):
  • aparecem potências de frações: \left(\dfrac{2}{4}\right)^{2}, \left(\dfrac{7}{4}\right)^{2}, \left(\dfrac{2}{7}\right)^{4} e \left(\dfrac{2}{7}\right)^{2};
  • há uma divisão entre potências e uma subtração final;
    O objetivo é transformar essa expressão até obter um resultado numérico simplificado.

Passo 2

Vou recordar as regras de potência e divisão que vamos usar (explicadas de forma concreta):
  • Regra 1: \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}. Ex.: \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{2^{2}}{3^{2}}=\dfrac{4}{9}.
  • Regra 2: Divisão por uma fração é multiplicar pelo recíproco: \dfrac{x}{y}\div\dfrac{u}{v}=\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{v}{u}.
  • Regra 3: Expoente negativo: z^{-n}=\dfrac{1}{z^{n}}. Assim \big(w^{m}\big)^{-1}=w^{-m}.
  • Regra 4: Ao multiplicar frações ou simplificar produtos de frações, é prático cancelar fatores comuns antes de multiplicar números grandes.
    Essas regras bastam para fazer a simplificação passo a passo.

Passo 3

Calcular \left(\dfrac{2}{4}\right)^{2}.
Primeiro simplifico \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. Então:
\left(\dfrac{2}{4}\right)^{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1^{2}}{2^{2}}=\dfrac{1}{4}.

Passo 4

Calcular \left(\dfrac{7}{4}\right)^{2}:
\left(\dfrac{7}{4}\right)^{2}=\dfrac{7^{2}}{4^{2}}=\dfrac{49}{16}.

Passo 5

Fazer a divisão \left(\dfrac{2}{4}\right)^{2}\div\left(\dfrac{7}{4}\right)^{2}, usando Regra 2:
\dfrac{1}{4}\div\dfrac{49}{16}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{16}{49}.
Agora simplifico antes de multiplicar: 16 e 4 têm fator comum 4, então 16/4=4. Logo
\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{16}{49}=\dfrac{1\cdot4}{49}=\dfrac{4}{49}.

Passo 6

Calcular \left(\dfrac{2}{7}\right)^{4} (que aparece no denominador da grande fração):
\left(\dfrac{2}{7}\right)^{4}=\dfrac{2^{4}}{7^{4}}=\dfrac{16}{2401}.

Passo 7

Dividir agora \dfrac{4}{49} por \dfrac{16}{2401}:
\dfrac{\tfrac{4}{49}}{\tfrac{16}{2401}}=\dfrac{4}{49}\cdot\dfrac{2401}{16}.
Faço simplificações por fatores comuns:
  • 4 e 16: 4/16=1/4.
  • 2401 e 49: 2401/49=49 (porque 2401=49\cdot49).
    Assim obtemos
\dfrac{4}{49}\cdot\dfrac{2401}{16}=\dfrac{1}{49}\cdot\dfrac{49}{4}=\dfrac{49}{4}.
(ou, vendo direto: após cancelar fica \dfrac{49}{4}). Portanto a primeira parte da expressão vale \dfrac{49}{4}.

Passo 8

Calcular o termo entre colchetes elevado a -1: \left[\left(\dfrac{2}{7}\right)^{2}\right]^{-1}.
Usando Regra 3:
\left[\left(\dfrac{2}{7}\right)^{2}\right]^{-1}=\left(\dfrac{2}{7}\right)^{2\cdot(-1)}=\left(\dfrac{2}{7}\right)^{-2}.
Uma forma prática é inverter a fração e tornar o expoente positivo:
\left(\dfrac{2}{7}\right)^{-2}=\left(\dfrac{7}{2}\right)^{2}=\dfrac{7^{2}}{2^{2}}=\dfrac{49}{4}.

Passo 9

Subtrair as duas partes já simplificadas:
\dfrac{49}{4}-\dfrac{49}{4}=0.

Passo 10

Resumo rápido do raciocínio (só para confirmar): a primeira fração simplificou para \dfrac{49}{4} e o termo com expoente -1 também para \dfrac{49}{4}, logo a diferença é zero — tudo bate certinho. Vai dar boa na prova, respira!

Resposta

0

Exercícios relacionados