A partir dos conjuntos a seguir, indicar os números: Naturais ( N ), Inteiros (Z), Racionais (\mathbb{Q}) e Irracionais \left(\mathbb{I}_{R}\right). \left\{-\sqrt{11} ;-2 ;-1,5 ;-4,32 \overline{145} ;-1 ; 0 ; \frac{1}{2} ; 2 ; \frac{5}{2} ; \pi ; 4 ; \sqrt[3]{9} ; 1,34256 \ldots ; 3, \overline{45}\right\}
Passo 1
O enunciado pede: a partir do conjunto \left\{-\sqrt{11};\;-2;\;-1,5;\;-4,32\overline{145};\;-1;\;0;\;\frac{1}{2};\;2;\;\frac{5}{2};\;\pi;\;4;\;\sqrt[3]{9};\;1,34256\ldots;\;3,\overline{45}\right\},
indicar, para cada número, a que conjuntos ele pertence entre: Naturais (\mathbb{N}), Inteiros (\mathbb{Z}), Racionais (\mathbb{Q}) e Irracionais \left(\mathbb{I}_{R}\right).
Informações dadas (listadas exatamente como aparecem no enunciado):
-\sqrt{11}
-2
-1,5
-4,32\overline{145}
-1
0
\dfrac{1}{2}
2
\dfrac{5}{2}
\pi
4
\sqrt[3]{9}
1,34256\ldots
3,\overline{45}
Passo 2
Vou definir claramente os conjuntos (isso serve como “ferramenta” que vou usar para classificar cada número).
Definição de \mathbb{N} (naturais): aqui vou usar a convenção mais comum em provas no Brasil, isto é
\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\},
ou seja, números inteiros não negativos (se você usa outra convenção sem o 0, ajusta mentalmente; eu considero 0\in\mathbb{N}).
Definição de \mathbb{Z} (inteiros):
\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}.
Todo elemento de \mathbb{N} está em \mathbb{Z}, mas nem todo inteiro é natural (por exemplo -1\notin\mathbb{N}).
Característica prática: um número é racional se e somente se sua expansão decimal é finita (termina) ou periódica (repetitiva). Exemplos: 0,5=\dfrac{1}{2} (termina) e 3,\overline{45}=\dfrac{38}{11} (periódico).
Definição de \mathbb{I}_{R} (irracionais):
são os números reais que não são racionais, isto é,
\mathbb{I}_{R}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
Propriedade importante: uma raiz (quadrada, cúbica, etc.) de um inteiro que não é potência perfeita costuma ser irracional (por exemplo \sqrt{2} e \sqrt{11} são irracionais). Constantes famosas como \pi são irracionais. Números com expansão decimal não periódica e infinita são irracionais.
Passo 3
Critérios práticos que vou usar para classificar rapidamente (e que você pode usar na prova):
Se o número é um inteiro não negativo (0,1,2,\dots) então pertence a \mathbb{N}, \mathbb{Z} e \mathbb{Q}.
Se o número é um inteiro negativo, pertence a \mathbb{Z} e \mathbb{Q} (não a \mathbb{N}).
Se for fração \dfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z}, é racional.
Se a expansão decimal termina ou repete, é racional; se é infinita e não repetitiva, é irracional.
Números do tipo \sqrt{n} com n inteiro que não é quadrado perfeito são irracionais. De modo análogo, \sqrt[k]{n} é irracional se não há m\in\mathbb{Z} tal que m^k=n. Vou usar essa ideia para \sqrt[3]{9}.
\pi é um número famoso provado irracional; cite isso na prova se aparecer.
Passo 4
Classifico um a um com justificativa passo a passo.
-\sqrt{11}
\sqrt{11} é irracional porque 11 não é quadrado perfeito; a prova padrão: suponha \sqrt{11}=\dfrac{p}{q} em forma irredutível, então p^2=11q^2 implica que 11 divide p, logo 11^2 divide p^2 e, consequentemente, 11 divide q — contradição com a irredutibilidade. Logo \sqrt{11}\notin\mathbb{Q}.
Como negativo de um irracional também é irracional, -\sqrt{11}\in\mathbb{I}_{R}.
Não pertence a \mathbb{Q}, nem a \mathbb{Z}, nem a \mathbb{N}.
-2
É um inteiro negativo. Logo -2\in\mathbb{Z}.
Todo inteiro é racional (pode escrever -2=\tfrac{-2}{1}), então -2\in\mathbb{Q}.
Não é natural (pois é negativo), então -2\notin\mathbb{N}.
Não é irracional.
-1,5
-1,5 é decimal finito; decimal finito é racional: -1,5=-\dfrac{15}{10}=-\dfrac{3}{2}.
Logo -1,5\in\mathbb{Q}.
Não é inteiro (-1,5\notin\mathbb{Z}), logo também não é natural.
Não é irracional.
-4,32\overline{145}
A barra sobre 145 indica período 145 repetindo: a parte decimal é 32\,145\,145\,145\ldots, ou seja, decimal periódico → número racional.
Para ilustrar como converter (método que cai em prova): seja
x=4,32145145\ldots
a parte não periódica tem s=2 dígitos (32) e o período tem r=3 dígitos (145). Então
Logo 4,32\overline{145}=\dfrac{431713}{99900} e, portanto, -4,32\overline{145}=-\dfrac{431713}{99900} é racional. Assim -4,32\overline{145}\in\mathbb{Q} e não pertence a \mathbb{Z} nem a \mathbb{N}; também não é irracional.
-1
-1 é inteiro negativo: -1\in\mathbb{Z}.
Inteiro ⇒ racional, então -1\in\mathbb{Q}.
Não é natural.
Não é irracional.
0
Pela convenção usada, 0\in\mathbb{N}.
Também 0\in\mathbb{Z} e 0\in\mathbb{Q} ( 0=\tfrac{0}{1} ).
Não é irracional.
\dfrac{1}{2}
É fração de inteiros, logo \dfrac{1}{2}\in\mathbb{Q}.
Não é inteiro nem natural.
Não é irracional.
2
2 é inteiro positivo; então 2\in\mathbb{N}, 2\in\mathbb{Z}.
Inteiro ⇒ racional, então 2\in\mathbb{Q}.
Não é irracional.
\dfrac{5}{2}
É racional (fração), \dfrac{5}{2}\in\mathbb{Q}.
Não é inteiro (pois não é número inteiro), logo não é natural.
Não é irracional.
\pi
Resultado clássico: \pi é irracional (teorema conhecido).
Então \pi\in\mathbb{I}_{R}.
Não pertence a \mathbb{Q}, nem a \mathbb{Z}, nem a \mathbb{N}.
4
4\in\mathbb{N} (é inteiro não negativo), logo 4\in\mathbb{Z} e 4\in\mathbb{Q}.
Não é irracional.
\sqrt[3]{9}
Aqui usamos a regra: se 9 não é cubo perfeito, \sqrt[3]{9} é irracional. Uma prova curta: suponha \sqrt[3]{9}=\dfrac{p}{q} em forma irredutível, então p^3=9q^3=3^2 q^3. Olhando à potência do primo 3, o lado esquerdo tem expoente múltiplo de 3 (pois é p^3), enquanto o lado direito tem expoente 2+3k para algum k, que não é múltiplo de 3 (pois 2\not\equiv0\pmod3). Contradição. Logo \sqrt[3]{9}\notin\mathbb{Q}.
Portanto \sqrt[3]{9}\in\mathbb{I}_{R}.
1,34256\ldots
O enunciado usa reticências sem barra de período; isto geralmente indica expansão decimal infinita não periódica (se fosse periódica teria barra). Pela regra prática: se a sequência decimal não é periódica, o número é irracional.
Assim, assumindo que não há período, 1,34256\ldots\in\mathbb{I}_{R}.
(Se na sua prova aparecesse ambiguidade, observe se existe barra de repetição; sem barra, trate como não periódico.)
3,\overline{45}
Decimal periódico com período 45. Método de conversão rápido: seja y=3,454545\ldots. Então 100y=345,4545\ldots. Subtraindo 100y-y=345,4545\ldots-3,4545\ldots=342, logo 99y=342 e y=\dfrac{342}{99}=\dfrac{38}{11}. Portanto é racional.
Assim 3,\overline{45}\in\mathbb{Q}, não é inteiro nem natural, nem irracional.