A partir dos conjuntos a seguir, indicar os números: Naturais ( N ), Inteiros (Z), Racionais (\mathbb{Q}) e Irracionais \left(\mathbb{I}_{R}\right).
\left\{-\sqrt{19} ;-4 ;-3,1 ;-1 ; 0 ; \frac{3}{2} ; 2 ; \sqrt{25} ; \sqrt{9} ; \frac{23}{3} ; 1,34256 \ldots ; 4 ; 11,5 ; 14 ; 15\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: identificar, para cada número do conjunto, a que conjuntos ele pertence entre Naturais (\mathbb{N}), Inteiros (\mathbb{Z}), Racionais (\mathbb{Q}) e Irracionais \left(\mathbb{I}_{R}\right).
Os elementos dados (copiei exatamente do enunciado) são:
\left\{-\sqrt{19};\; -4;\; -3,1;\; -1;\; 0;\; \frac{3}{2};\; 2;\; \sqrt{25};\; \sqrt{9};\; \frac{23}{3};\; 1,34256\ldots;\; 4;\; 11,5;\; 14;\; 15\right\}.

Passo 2

Convenções e definições básicas (muito importante para classificar corretamente).
  • Vou adotar a convenção mais comum aqui: \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\} (os naturais incluem o zero). Se o seu professor usa \mathbb{N}=\{1,2,\dots\}, diga-me depois e eu ajusto, ok?
  • Definições essenciais:
    • \mathbb{N}: números naturais (inteiros não negativos).
    • \mathbb{Z}: números inteiros (positivos, negativos e zero).
    • \mathbb{Q}: números racionais — números que podem ser escritos como \dfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z} e q\neq0. Equivalente: decimais finitos ou decimais infinitos periódicos.
    • \mathbb{I}_{R}: números irracionais — números reais que não são racionais; equivalem a decimais infinitos não periódicos. Observação: \mathbb{Q}\cap\mathbb{I}_{R}=\varnothing e \mathbb{Q}\cup\mathbb{I}_{R}=\mathbb{R}. Além disso \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}.

Passo 3

Regras práticas para decidir rápido:
  • Se for uma fração \dfrac{a}{b} com inteiros, é racional.
  • Se for decimal finito (por ex. 11,5) ou decimal periódico (por ex. 0,333\ldots) é racional.
  • Se for raiz quadrada de inteiro que é quadrado perfeito, o resultado é inteiro (racional). Ex.: \sqrt{25}=5.
  • Se for raiz quadrada de inteiro que não é quadrado perfeito (por ex. \sqrt{19}), é irracional.
  • Se a notação mostra reticências sem indicar repetição (por ex. 1,34256\ldots) assume-se geralmente decimal não periódico → irracional (vou usar essa interpretação aqui).

Passo 4

Classificação de cada elemento — concretamente e passo a passo.
  1. -\sqrt{19}.
  • 19 não é quadrado perfeito (os quadrados perfeitos próximos são 16=4^{2} e 25=5^{2}).
  • Portanto \sqrt{19} é irracional; o oposto de um número irracional continua irracional.
  • Conclusão: -\sqrt{19}\in\mathbb{I}_{R}.
  1. -4.
  • É um inteiro negativo. Inteiros pertencem a \mathbb{Z}.
  • Todo inteiro pode ser escrito como fração (por ex. -4=-4/1), logo também é racional ( \in\mathbb{Q}).
  • Não é natural (porque é negativo).
  • Conclusão: -4\in\mathbb{Z} e -4\in\mathbb{Q}.
  1. -3,1.
  • Decimal finito; equivalente a -\dfrac{31}{10} (porque -3,1=-3-\tfrac{1}{10}=-\tfrac{31}{10}).
  • Fração com inteiros → racional.
  • Não é inteiro (pois fracção não inteira), logo não é natural.
  • Conclusão: -3,1\in\mathbb{Q}.
  1. -1.
  • Inteiro negativo → -1\in\mathbb{Z}.
  • Como inteiro também é racional ( -1=-1/1).
  • Não é natural.
  • Conclusão: -1\in\mathbb{Z} e -1\in\mathbb{Q}.
  1. 0.
  • Pela convenção adotada, 0\in\mathbb{N}.
  • Também é inteiro ( 0\in\mathbb{Z}) e racional ( 0=0/1\in\mathbb{Q}).
  • Não é irracional.
  • Conclusão: 0\in\mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q}.
  1. \dfrac{3}{2}.
  • Já está na forma de fração de inteiros → racional.
  • Não é inteiro nem natural.
  • Conclusão: \dfrac{3}{2}\in\mathbb{Q}.
  1. 2.
  • É inteiro positivo e natural.
  • Também racional.
  • Conclusão: 2\in\mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q}.
  1. \sqrt{25}.
  • 25 é quadrado perfeito ( 25=5^{2}), logo \sqrt{25}=5.
  • 5 é natural, inteiro e racional.
  • Conclusão: \sqrt{25}=5\in\mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q}.
  1. \sqrt{9}.
  • 9 é quadrado perfeito ( 9=3^{2}), então \sqrt{9}=3.
  • 3\in\mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q}.
  • Conclusão: \sqrt{9}=3\in\mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q}.
  1. \dfrac{23}{3}.
  • Fração de inteiros → racional.
  • Não é inteiro (porque 23 não é múltiplo de 3).
  • Conclusão: \dfrac{23}{3}\in\mathbb{Q}.
  1. 1,34256\ldots.
  • Notação com reticências sem barra de repetição costuma indicar decimal infinito não periódico.
  • Decimais infinitos não periódicos são irracionais.
  • (Se fosse periódico haveria indicação do período ou barra; como não há, classifiquei como irracional.)
  • Conclusão: 1,34256\ldots\in\mathbb{I}_{R}.
  1. 4.
  • Inteiro e natural (positivos) e racional.
  • Conclusão: 4\in\mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q}.
  1. 11,5.
  • Decimal finito; 11,5=\dfrac{23}{2}.
  • Logo racional, não inteiro, não natural.
  • Conclusão: 11,5\in\mathbb{Q}.
  1. 14.
  • Natural, inteiro, racional.
  • Conclusão: 14\in\mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q}.
  1. 15.
  • Natural, inteiro, racional.
  • Conclusão: 15\in\mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q}.

Passo 5

Resumo rápido das regras usadas (pra você lembrar na prova):
  • Se for inteiro não-negativo → natural;
  • Se for inteiro negativo ou positivo ou zero → inteiro;
  • Se for fração de inteiros ou decimal finito/periódico → racional;
  • Se for raiz de inteiro não quadrado perfeito ou decimal infinito não periódico → irracional.
Vai dar certo — respira e confia que com esses passos na prova você classifica rapidinho.

Resposta

-\sqrt{19}: \mathbb{I}_{R}
-4: \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q}
-3,1: \mathbb{Q}
-1: \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q}
0: \mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q}
\dfrac{3}{2}: \mathbb{Q}
2: \mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q}
\sqrt{25}=5: \mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q}
\sqrt{9}=3: \mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q}
\dfrac{23}{3}: \mathbb{Q}
1,34256\ldots: \mathbb{I}_{R}
4: \mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q}
11,5: \mathbb{Q}
14: \mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q}
15: \mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q}

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