Simplifica tanto quanto possível as seguintes expressões algébricas
\frac{x}{a x-2 a^{2}}-\frac{2 a}{x^{2}+x-2 a x-2 a} \cdot\left(1+\frac{3 x+x^{2}}{3+x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar
\frac{x}{a x-2 a^{2}} \;-\;\frac{2 a}{x^{2}+x-2 a x-2 a}\,\Bigl(1+\frac{3 x+x^{2}}{3+x}\Bigr).
O conteúdo é simplificação de expressões racionais: vamos fatorar denominadores, simplificar somas de frações e cancelar fatores comuns.

Passo 2

No primeiro quociente, fatoramos a no denominador:
a x - 2 a^{2} = a(x-2a),
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\frac{x}{a x-2 a^{2}} = \frac{x}{a(x-2a)} = \frac{1}{a}\,\frac{x}{x-2a}.

Passo 3

No segundo termo, note o denominador
x^{2}+x-2 a x-2 a = x^{2}+(1-2a)x-2a
tem raízes x=2a e x=-1, isto é,
x^{2}+(1-2a)x-2a = (x-2a)(x+1).
Além disso, dentro do parêntese:
1+\frac{3x+x^{2}}{3+x} =1+\frac{x(3+x)}{x+3} =1+x =x+1.

Passo 4

Substituindo essas simplificações, o segundo termo fica
\frac{2a}{(x-2a)(x+1)}\,(x+1) =\frac{2a}{x-2a}.

Passo 5

Agora nossa expressão é
\frac{x}{a(x-2a)} \;-\; \frac{2a}{x-2a}.
Colocando sobre o mesmo denominador a(x-2a),
\frac{x}{a(x-2a)}-\frac{2a}{x-2a} =\frac{x}{a(x-2a)}-\frac{2a\cdot a}{a(x-2a)} =\frac{x-2a^{2}}{a(x-2a)}.

Passo 6

Verificamos que não há mais fatores comuns entre numerador e denominador. Portanto, a forma mais simples é
\frac{x-2a^{2}}{a(x-2a)}.

Resposta

\frac{x-2a^{2}}{a(x-2a)}.

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