Simplifica tanto quanto possível as seguintes expressões algébricas
\frac{\left(1+\frac{x^{2}+y^{2}-z^{2}}{2 x y}\right)\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{z}\right)}{\frac{1}{x+y}-\frac{1}{z}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar ao máximo a expressão
\frac{\Bigl(1+\frac{x^{2}+y^{2}-z^{2}}{2xy}\Bigr)\Bigl(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{z}\Bigr)}{\frac{1}{x+y}-\frac{1}{z}}.
O conteúdo é simplificação de frações algébricas, envolvendo soma e diferença de frações e fatoração de diferença de quadrados.

Passo 2

Vamos simplificar o primeiro fator em parênteses:
1 + \frac{x^{2}+y^{2}-z^{2}}{2xy} = \frac{2xy + (x^{2}+y^{2}-z^{2})}{2xy} = \frac{x^{2}+2xy+y^{2}-z^{2}}{2xy} = \frac{(x+y)^{2}-z^{2}}{2xy} = \frac{(x+y-z)(x+y+z)}{2xy}.

Passo 3

Agora simplificamos a soma e a diferença de frações nas outras partes:
\frac{1}{x+y} + \frac{1}{z} = \frac{z + (x+y)}{z(x+y)} = \frac{x+y+z}{z(x+y)},
\frac{1}{x+y} - \frac{1}{z} = \frac{z - (x+y)}{z(x+y)} = -\frac{x+y - z}{z(x+y)}.

Passo 4

Reescrevendo a expressão original com esses resultados:
\frac{\frac{(x+y-z)(x+y+z)}{2xy}\;\cdot\;\frac{x+y+z}{z(x+y)}} {-\frac{x+y - z}{z(x+y)}} \;=\; \frac{(x+y-z)(x+y+z)}{2xy}\;\cdot\;\frac{x+y+z}{z(x+y)} \;\cdot\; \frac{z(x+y)}{-(x+y-z)}.
Cancelamos z, (x+y) e (x+y-z), e obtemos
-\frac{(x+y+z)^{2}}{2xy}.

Resposta

-\frac{(x+y+z)^{2}}{2xy}.

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