Simplifica tanto quanto possível as seguintes expressões algébricas
\frac{a}{x-a}-\frac{a}{x^{2}-a^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão de números racionais
\frac{a}{x - a} \;-\;\frac{a}{x^{2} - a^{2}}.
O conteúdo aqui é manipulação de frações algébricas, envolvendo fatoração de polinômios e soma de frações com denominador comum.

Passo 2

Observe que o segundo denominador é uma diferença de quadrados. Logo,
x^{2} - a^{2} = (x - a)(x + a).

Passo 3

Para somar (ou, neste caso, subtrair) as frações, usamos o denominador comum (x - a)(x + a). Reescrevendo o primeiro termo:
\frac{a}{x - a} = \frac{a}{x - a}\cdot\frac{x + a}{x + a} = \frac{a\,(x + a)}{(x - a)(x + a)}.
O segundo termo já tem esse denominador:
\frac{a}{x^{2}-a^{2}} = \frac{a}{(x - a)(x + a)}.

Passo 4

Subtraindo as duas frações com denominador comum:
\frac{a\,(x + a)}{(x - a)(x + a)} \;-\; \frac{a}{(x - a)(x + a)} = \frac{a\,(x + a)\;-\;a}{(x - a)(x + a)} = \frac{a\,x + a^{2} - a}{(x - a)(x + a)}.
Agora fatoramos a no numerador:
a\,x + a^{2} - a = a\,(x + a - 1).
Logo,
\frac{a\,x + a^{2} - a}{(x - a)(x + a)} = \frac{a\,(x + a - 1)}{(x - a)(x + a)}.

Resposta

\frac{a}{x - a} \;-\;\frac{a}{x^{2} - a^{2}} = \frac{a\,(x + a - 1)}{(x - a)(x + a)}.

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