Simplificando a expressão algébrica
\frac{x^{3}+y^{3}-2 x-2 y}{x+y}-x^{2}+x y-y^{2},
obtemos como resultado
(A) -2
(B) x+y.
(C) 0 .
(D) 1 .
(E) x-y.

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\frac{x^{3}+y^{3}-2 x-2 y}{x+y}-x^{2}+x y-y^{2},
e pede para simplificá‑la (há alternativas; uma delas é a correta). Informação relevante que já dá para notar: a fração tem denominador (x+y), então a expressão original só está bem definida quando (x+y)\neq0. Vou listar o que é pedido: simplificar a expressão algébrica dada e identificar qual alternativa corresponde ao resultado.

Passo 2

Um passo-chave aqui é lembrar a fatoração da soma de cubos. A fórmula é
x^{3}+y^{3}=(x+y)\bigl(x^{2}-x y+y^{2}\bigr).
Explico por que essa igualdade vale: multiplicando as duas expressões à direita,
(x+y)\bigl(x^{2}-x y+y^{2}\bigr)=x^{3}-x^{2}y+xy^{2}+x^{2}y-xy^{2}+y^{3},
e nas somas aparecem os termos -x^{2}y e +x^{2}y que se anulam, e também +xy^{2} e -xy^{2} que se anulam, sobrando só x^{3}+y^{3}. Ou seja, a fatoração está correta. Essa fatoração é muito útil para simplificar frações com x^{3}+y^{3} no numerador quando há um fator x+y no denominador.

Passo 3

Observe que também os termos -2x-2y no numerador têm fator comum 2(x+y). Reescrevendo o numerador e fatorando (x+y), temos
x^{3}+y^{3}-2x-2y=(x+y)\bigl(x^{2}-x y+y^{2}\bigr)-2(x+y).
Agora fatoramos (x+y) em evidência:
x^{3}+y^{3}-2x-2y=(x+y)\bigl(x^{2}-x y+y^{2}-2\bigr).

Passo 4

Dividindo pelo denominador (x+y) (lembrando da condição (x+y)\neq0), a fração simplifica para
\frac{x^{3}+y^{3}-2x-2y}{x+y}=x^{2}-x y+y^{2}-2.
Isso é simplesmente cancelar o fator comum (x+y).

Passo 5

Agora substituímos esse resultado na expressão original, que era a fração menos x^{2}-x y+y^{2}:
\bigl(x^{2}-x y+y^{2}-2\bigr)-x^{2}+x y-y^{2}.
Vamos juntar termo a termo: x^{2}-x^{2}=0, -x y + x y=0, y^{2}-y^{2}=0. Sobrou apenas o termo constante
-2.

Passo 6

Portanto, a simplificação dá uma constante: -2. A observação de domínio é que todo o processo de cancelamento foi feito assumindo (x+y)\neq0 (porque a expressão inicial não está definida quando x+y=0), mas para todos os pares (x,y) com (x+y)\neq0 o resultado simplificado é -2.

Resposta

(A) -2

Exercícios relacionados