(AOCP, 2009) De um quadrado de lado 0,987654321 m foi retirado um quadrado de lado 0,012345679 \mathrm{~m}. A área da região resultante mede x metros quadrados. Então, a soma dos algarismos que compõem o número x é um
(A) múltiplo de 9 .
(B) múltiplo de 11 .
(C) número primo.
(D) número divisível por 13.
(E) quadrado perfeito.

Passo 1

O enunciado dá dois comprimentos de lado de quadrados (em metros) e pede que se calcule a soma dos algarismos do número que é a área resultante após retirar o quadrado menor do quadrado maior. Dados fornecidos:
  • lado do quadrado maior: a = 0,987654321.
  • lado do quadrado menor: b = 0,012345679.
O que o problema pede explicitamente:
  • Calcular x, a área da região resultante: x = a^{2}-b^{2}.
  • Calcular a soma dos algarismos que compõem o número x e identificar qual das alternativas (A)–(E) corresponde a essa soma.

Passo 2

Fórmula útil e explicação (aula rápida): diferença de quadrados.
  • Há uma identidade algébrica simples e muito usada:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
  • Aqui a e b são os lados dados. Essa fórmula evita ter que calcular a^{2} e b^{2} separadamente — basta calcular a+b e a-b e multiplicá-los. É sempre válida para quaisquer números reais a e b.

Passo 3

Calcular a+b. Somando os lados dados:
a+b=0,987654321+0,012345679.
Fazendo a soma posição a posição (vírgula alinhada), nota-se que os algarismos após a vírgula se somam a 1000000000 na casa decimal, portanto:
a+b=1,000000000.
Para efeitos práticos isso é exatamente 1.

Passo 4

Calcular a-b. Subtraindo os lados:
a-b=0,987654321-0,012345679.
Subtração dígito a dígito (com empréstimos quando necessário) dá:
a-b=0,975308642.
(Se preferir verificar: somando b a esse resultado volta-se a a.)

Passo 5

Aplicar a identidade da diferença de quadrados:
x=a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Substituindo os valores que achamos:
x=0,975308642\cdot 1,000000000 = 0,975308642.
Portanto a área resultante é x=0,975308642 metros quadrados.

Passo 6

Agora vamos somar os algarismos que compõem x. Os algarismos após a vírgula de x são: 9,7,5,3,0,8,6,4,2. Somando todos os algarismos (incluindo o algarismo inteiro antes da vírgula, que é 0 no caso):
\text{soma} = 0+9+7+5+3+0+8+6+4+2.
Fazendo a conta em passos:
0+9=9,\quad 9+7=16,\quad 16+5=21,\quad 21+3=24,
24+0=24,\quad 24+8=32,\quad 32+6=38,\quad 38+4=42,\quad 42+2=44.
Logo a soma dos algarismos é \,44.

Passo 7

Interpretar as alternativas usando o valor \,44:
  • (A) múltiplo de 9? Um número é múltiplo de 9 se sua soma de algarismos é múltipla de 9. Aqui a soma é 44, que não é múltipla de 9. Portanto (A) é falsa.
  • (B) múltiplo de 11? 44 = 11\cdot 4, logo é múltiplo de 11. (B) é verdadeira.
  • (C) número primo? 44 tem divisores além de 1 e 44 (por exemplo 2 e 11), então não é primo.
  • (D) divisível por 13? 44/13 não é inteiro ( 13\cdot3=39, 13\cdot4=52), logo não.
  • (E) quadrado perfeito? Os quadrados perfeitos próximos são 36=6^{2} e 49=7^{2}; 44 não é quadrado perfeito.
Portanto a alternativa correta é (B).

Resposta

(B) múltiplo de 11.

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