(AOCP, 2009) De um quadrado de lado
foi retirado um quadrado de lado
. A área da região resultante mede
metros quadrados. Então, a soma dos algarismos que compõem o número
é um
(A) múltiplo de 9 .
(B) múltiplo de 11 .
(C) número primo.
(D) número divisível por 13.
(E) quadrado perfeito.
(A) múltiplo de 9 .
(B) múltiplo de 11 .
(C) número primo.
(D) número divisível por 13.
(E) quadrado perfeito.
Passo 1
O enunciado dá dois comprimentos de lado de quadrados (em metros) e pede que se calcule a soma dos algarismos do número que é a área resultante após retirar o quadrado menor do quadrado maior. Dados fornecidos:
- lado do quadrado maior:
. - lado do quadrado menor:
.
O que o problema pede explicitamente:
- Calcular
, a área da região resultante: . - Calcular a soma dos algarismos que compõem o número
e identificar qual das alternativas (A)–(E) corresponde a essa soma.
Passo 2
Fórmula útil e explicação (aula rápida): diferença de quadrados.
- Há uma identidade algébrica simples e muito usada:
- Aqui
e são os lados dados. Essa fórmula evita ter que calcular e separadamente — basta calcular e e multiplicá-los. É sempre válida para quaisquer números reais e .
Passo 3
Calcular
. Somando os lados dados:
Fazendo a soma posição a posição (vírgula alinhada), nota-se que os algarismos após a vírgula se somam a
na casa decimal, portanto:
Para efeitos práticos isso é exatamente
.
Passo 4
Calcular
. Subtraindo os lados:
Subtração dígito a dígito (com empréstimos quando necessário) dá:
(Se preferir verificar: somando
a esse resultado volta-se a
.)
Passo 5
Aplicar a identidade da diferença de quadrados:
Substituindo os valores que achamos:
Portanto a área resultante é
metros quadrados.
Passo 6
Agora vamos somar os algarismos que compõem
. Os algarismos após a vírgula de
são:
. Somando todos os algarismos (incluindo o algarismo inteiro antes da vírgula, que é
no caso):
Fazendo a conta em passos:
Logo a soma dos algarismos é
.
Passo 7
Interpretar as alternativas usando o valor
:
- (A) múltiplo de
? Um número é múltiplo de se sua soma de algarismos é múltipla de . Aqui a soma é , que não é múltipla de . Portanto (A) é falsa. - (B) múltiplo de
? , logo é múltiplo de . (B) é verdadeira. - (C) número primo?
tem divisores além de e (por exemplo e ), então não é primo. - (D) divisível por
? não é inteiro ( , ), logo não. - (E) quadrado perfeito? Os quadrados perfeitos próximos são
e ; não é quadrado perfeito.
Portanto a alternativa correta é (B).
Resposta
(B) múltiplo de 11.