Simplifique as expressões a seguir:
\frac{(n+3)!}{(n-2)!} \cdot \frac{(n-1)!}{(n+2)!}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão envolvendo fatoriais
\frac{(n+3)!}{(n-2)!}\;\cdot\;\frac{(n-1)!}{(n+2)!}.
O conteúdo principal aqui é a propriedade de fatoriais
k! = k\,(k-1)!,
que permite expandir e cancelar termos.

Passo 2

Reescrevemos cada fatorial em função de outro para identificar cancelamentos:
(n+3)! = (n+3)(n+2)(n+1)n\,(n-1)!,
(n+2)! = (n+2)(n+1)n\,(n-1)!,
(n-1)! = (n-1)\,(n-2)!.

Passo 3

Substituindo essas expressões na fração original, temos
\frac{(n+3)!}{(n-2)!}\;\cdot\;\frac{(n-1)!}{(n+2)!} = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n\,(n-1)!}{(n-2)!} \;\cdot\; \frac{(n-1)\,(n-2)!}{(n+2)(n+1)n\,(n-1)!}.

Passo 4

Cancelamos os fatores comuns em numerador e denominador:
(n-2)!\,,\; (n-1)!\,,\; (n+2)\,,\; (n+1)\,,\; n
ficando
(n+3)\,(n-1).

Passo 5

Expandindo o produto restante:
(n+3)(n-1) = n^2 + 3n - n - 3 = n^2 + 2n - 3.

Resposta

n^2 + 2n - 3

Exercícios relacionados