Fatorar a expressão a^{2}-b^{2}-a+b :

Passo 1

O enunciado dá a expressão
a^{2}-b^{2}-a+b
e pede que ela seja fatorada.
Informações relevantes: a expressão é um polinômio em a e b com termos quadráticos e lineares. O objetivo é escrever essa expressão como produto de fatores mais simples.

Passo 2

Vou separar a expressão em dois blocos que ficam fáceis de manipular:
a^{2}-b^{2}-a+b = \bigl(a^{2}-b^{2}\bigr) + \bigl(-a+b\bigr).
Isso só reorganiza os termos, sem alterar o valor da expressão.

Passo 3

Reconheço o primeiro bloco como uma diferença de quadrados. A fórmula da diferença de quadrados é:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y),
onde x e y são quaisquer expressões. Aplicando com x=a e y=b, obtemos:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).

Passo 4

Reescrevo o segundo bloco para evidenciar um fator comum com o primeiro bloco:
-a+b = -(a-b).
Aqui usei que trocar o sinal dos dois termos é o mesmo que pôr um negativo em comum.

Passo 5

Substituo as identidades dos passos anteriores na expressão inicial:
a^{2}-b^{2}-a+b = (a-b)(a+b) - (a-b).
Agora fica claro que há um fator comum (a-b) em ambos os termos.

Passo 6

Fatorando o fator comum (a-b) (regra: se X\cdot Y - X\cdot Z = X\cdot(Y-Z)), obtenho:
(a-b)(a+b) - (a-b) = (a-b)\bigl((a+b)-1\bigr).
Simplificando o interior do parêntese:
(a-b)(a+b-1).

Passo 7

Cheque rápido por expansão para confirmar (multiplicação distribuída):
(a-b)(a+b-1)= (a-b)(a+b) - (a-b)\cdot 1
= (a^{2}-b^{2}) - (a-b) = a^{2}-b^{2}-a+b,
que é exatamente a expressão original. A fatoração está correta.

Resposta

(a-b)(a+b-1)

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