A fração
\frac{4 x^{2}-1}{4 x^{2}+4 x+1}
é equivalente a:

Passo 1

O enunciado dá a fração
\frac{4x^{2}-1}{4x^{2}+4x+1}
e pede uma expressão equivalente. Vou listar o que temos: o numerador é 4x^{2}-1 e o denominador é 4x^{2}+4x+1. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Observar padrões: reconhecer que o numerador é uma diferença de quadrados. A identidade geral é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões. Aqui podemos escolher a=2x e b=1, pois (2x)^{2}=4x^{2} e 1^{2}=1. Aplicando a identidade:
4x^{2}-1=(2x)^{2}-1^{2}=(2x-1)(2x+1).

Passo 3

Fatorar o denominador: reconhecer que 4x^{2}+4x+1 é um trinômio quadrado perfeito. A identidade é
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Tomando a=2x e b=1 temos 2ab=2\cdot(2x)\cdot1=4x, então
(2x+1)^{2}=(2x)^{2}+2\cdot(2x)\cdot1+1^{2}=4x^{2}+4x+1.
Portanto
4x^{2}+4x+1=(2x+1)^{2}.

Passo 4

Substituir as fatorações na fração:
\frac{4x^{2}-1}{4x^{2}+4x+1}=\frac{(2x-1)(2x+1)}{(2x+1)^{2}}.
Agora simplificar cancelando o fator comum (2x+1). Lembre-se da regra: só se pode cancelar um fator comum se ele for diferente de zero. Após a cancelamento obtemos
\frac{(2x-1)\cancel{(2x+1)}}{\cancel{(2x+1)}(2x+1)}=\frac{2x-1}{2x+1},
válido para 2x+1\neq0, ou seja, para x\neq -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Comentário útil para a prova: outra forma equivalente (algumas vezes conveniente) é escrever
\frac{2x-1}{2x+1}=1-\frac{2}{2x+1},
obtida dividindo 2x-1 por 2x+1. Isso é útil se for preciso separar termos ou encontrar limite quando x\to\infty.

Resposta

\dfrac{2x-1}{2x+1} (para x\neq -\tfrac{1}{2})

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