Simplificando
encontramos
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
As informações dadas são exatamente os símbolos acima: há uma raiz quadrada externa, um numerador
e um denominador que é a raiz cúbica de
, isto é
. Não foi dito nada sobre o sinal de
, portanto consideraremos
como um número real, lembrando que a expressão original contém divisão por
, então
(pois
e não se pode dividir por zero).
Passo 2
Regra importante sobre raízes e potências: a raiz
-ésima pode ser escrita como potência fracionária,
Em particular:
Aqui cada variável e expoente representa:
é o número base;
é o expoente que representa a raiz
-ésima. Observação sobre sinais: quando a raiz é de índice par (como a raiz quadrada), o resultado é por definição não negativo; por isso, ao simplificar potências que envolvem raiz quadrada, pode aparecer valor absoluto.
Passo 3
Convertemos tudo em potências fracionárias usando a regra do passo anterior. A expressão interna fica
Agora usamos a propriedade das potências com mesma base: ao dividir, subtrai-se os expoentes,
Expliquei:
vem de
simples;
vem da raiz cúbica. Subtraindo
.
Passo 4
Agora aplicamos a raiz quadrada externa, que é elevar a
. Assim
Ao multiplicar potências (expoente de expoente), multiplicam-se os expoentes:
No entanto, atenção importante:
é a raiz quadrada principal, que sempre dá resultado não negativo. Como
para todo
, temos
E, usando que
, podemos escrever a forma final adequada considerando sinais.
Passo 5
Resumo e casos:
- Para todo
com (pois a expressão original tem divisão por ), a simplificação correta é
- Se for dado explicitamente que
, a expressão simplifica-se para (não precisa do valor absoluto).