Simplificando \sqrt{\frac{a}{\sqrt[3]{a}}} encontramos

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\sqrt{\frac{a}{\sqrt[3]{a}}}
As informações dadas são exatamente os símbolos acima: há uma raiz quadrada externa, um numerador a e um denominador que é a raiz cúbica de a, isto é \sqrt[3]{a}. Não foi dito nada sobre o sinal de a, portanto consideraremos a como um número real, lembrando que a expressão original contém divisão por \sqrt[3]{a}, então a\neq 0 (pois \sqrt[3]{0}=0 e não se pode dividir por zero).

Passo 2

Regra importante sobre raízes e potências: a raiz n-ésima pode ser escrita como potência fracionária,
\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.
Em particular:
\sqrt{a}=a^{1/2}, \qquad \sqrt[3]{a}=a^{1/3}.
Aqui cada variável e expoente representa: a é o número base; 1/n é o expoente que representa a raiz n-ésima. Observação sobre sinais: quando a raiz é de índice par (como a raiz quadrada), o resultado é por definição não negativo; por isso, ao simplificar potências que envolvem raiz quadrada, pode aparecer valor absoluto.

Passo 3

Convertemos tudo em potências fracionárias usando a regra do passo anterior. A expressão interna fica
\frac{a}{\sqrt[3]{a}}=\frac{a}{a^{1/3}}.
Agora usamos a propriedade das potências com mesma base: ao dividir, subtrai-se os expoentes,
\frac{a^{1}}{a^{1/3}}=a^{1-1/3}=a^{2/3}.
Expliquei: a^{1} vem de a simples; a^{1/3} vem da raiz cúbica. Subtraindo 1-(1/3)=2/3.

Passo 4

Agora aplicamos a raiz quadrada externa, que é elevar a 1/2. Assim
\sqrt{\frac{a}{\sqrt[3]{a}}}=\sqrt{a^{2/3}}=(a^{2/3})^{1/2}.
Ao multiplicar potências (expoente de expoente), multiplicam-se os expoentes:
(a^{2/3})^{1/2}=a^{(2/3)\cdot(1/2)}=a^{1/3}.
No entanto, atenção importante: \sqrt{\cdot} é a raiz quadrada principal, que sempre dá resultado não negativo. Como a^{2/3}\ge 0 para todo a\in\mathbb{R}, temos
\sqrt{a^{2/3}}=|a^{1/3}|.
E, usando que |a^{1/3}|=(|a|)^{1/3}, podemos escrever a forma final adequada considerando sinais.

Passo 5

Resumo e casos:
  • Para todo a\in\mathbb{R} com a\neq 0 (pois a expressão original tem divisão por \sqrt[3]{a}), a simplificação correta é
\sqrt{\frac{a}{\sqrt[3]{a}}}=|a|^{1/3}.
  • Se for dado explicitamente que a>0, a expressão simplifica-se para \,a^{1/3}\, (não precisa do valor absoluto).

Resposta

|a|^{1/3}

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