Simplificar e calcule o valor das expressões:
\frac{12!}{10!}

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar e calcular a expressão \frac{12!}{10!}. Informação dada: temos fatoriais em numerador e denominador, especificamente \,12! e \,10!.

Passo 2

O que é fatorial? Para um inteiro não negativo n, o fatorial \,n! é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n:
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1.
Exemplo concreto: \,5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.
Aqui cada símbolo significa:
  • n é o número cujo fatorial estamos calculando;
  • n! é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n.

Passo 3

Propriedade útil: para n\ge 1 vale
n! = n\cdot (n-1)!.
Isto vem direto da definição: multiplicando n pelos termos de (n-1)! recuperamos todos os fatores de n!.
Aplicando essa ideia para n=12 temos explicitamente:
12! = 12\cdot 11\cdot 10!.

Passo 4

Agora escrevemos a fração usando a expressão anterior:
\frac{12!}{10!} = \frac{12\cdot 11\cdot 10!}{10!}.
Como \,10! é um número positivo diferente de zero, podemos cancelar o fator comum \,10! no numerador e no denominador. Após o cancelamento ficamos com:
\frac{12!}{10!} = 12\cdot 11.

Passo 5

Calculemos 12\cdot 11 passo a passo sem calculadora. Podemos usar a decomposição 11 = 10+1:
12\cdot 11 = 12\cdot(10+1) = 12\cdot 10 + 12\cdot 1 = 120 + 12 = 132.

Passo 6

Dica geral (útil para provas): para inteiros com n>k,
\frac{n!}{(n-k)!} = n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1),
ou seja, você cancela o fatorial comum e fica com o produto dos k maiores inteiros de 1 a n. Exemplo rápido: \frac{5!}{3!}=5\cdot4=20.

Resposta

\,132

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